modificación de la desigualdad de Doob

Question

Hola a todos, por favor consideren el siguiente problema:

Dejemos que $(M_t)_{t\geq 0}$ sea un submartingale continuo y positivo y $S_t=\sup_{0\leq s\leq t}M_s$ . Por favor, demuestre que para cualquier $\lambda>0$ tenemos

$$\lambda P(S_t>2\lambda)\leq E[M_t1_{\{M_t>\lambda\}}]$$

Esta desigualdad me hace recordar la desigualdad de Doob

$$\lambda P(S_t>\lambda)\leq E[M_t1_{\{S_t>\lambda\}}]$$

Por lo tanto, basta con demostrar que

$$E[M_t1_{\{S_t>\lambda\}}]\leq 2E[M_t1_{\{M_t>\lambda\}}]$$

Pero no tengo ni idea de tratar el término $1_{\{M_t>\lambda\}}$ incluso introduciendo un tiempo de parada $T_{\lambda}$ . ¿Podría alguien ayudarme a probar esta desigualdad o dar alguna idea? Muchas gracias.

Answer 1

Bonito ejercicio, aunque debería ir a math.stackexchange.com. Te daré una pista: Deja que $T$ sea el tiempo de golpeo de $2\lambda$ . Entonces, $E[M_t 1_{M_t\ge \lambda}] \ge E[M_t 1_{M_t\ge \lambda,\ T\le t}] \ge E[M_t1_{T\le t}]- E[M_t1_{M_t\le \lambda}1_{T\le t}].$