Derivación de la solución fundamental de la ecuación del calor para estudiantes

Question

Es bien sabido que el sistema unidimensional ecuación del calor $$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t)=a\cdot\frac{\partial^2}{\partial x^2} {u(x,t)}$$ tiene la solución fundamental $$K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi a t}} \ \exp\left(-\frac{x^2}{4at}\right)$$ .

Mi pregunta
Estoy buscando referencias en inglés o alemán para una derivación fácil de esta solución particular que sean comprensibles para los estudiantes de grado.

Answer 1

Creo que el término solución fundamental (al menos a veces) incluye convencionalmente la integral alrededor de su $K$ . Voy a suponer esto. Si no recuerdo mal, el siguiente argumento es de "Ecuaciones diferenciales parciales" de Strauss.

Una solución especialmente sencilla se desprende del principio de autosimilaridad, es decir

Si $u(x,t)$ es una solución, entonces también lo es $u(cx, a c^2t)$

Esto sugiere buscar una solución particular de la forma $K(x,t) = g(p)$ , donde $p = \frac{x}{\sqrt{4at}}$

Sustituyendo $g$ en la ecuación del calor conduce a la ecuación diferencial

$$g''+\frac{p}{2}g' = 0 $$

Entonces la solución fundamental como la anterior se deduce de resolver esto.

Answer 2

Aprendí este hecho del libro de Folland Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales; se dispone de una prueba aquí .

Answer 3

Creo que puedes encontrar una solución a esto desde Elias Stein del libro Análisis de Fourier . Lo siento, no tengo el archivo disponible. Pero usar el análisis de Fourier para resolver esto puede ser como usar un martillo para matar una mosca.

Answer 4

Un enfoque consiste en resolver primero la ecuación del calor con los datos iniciales de Heaviside, teniendo en cuenta la propiedad de escalado mencionada en la respuesta de Q.Q.J., y luego diferenciar. Esto evita una definición explícita de la delta de Dirac, y se hace, por ejemplo, en El libro de Logan .