Atiyah-Jänich para $K_1$

Question

El teorema de Atiyah-Jänich dice que $$ \left[X\to\mathcal{F}\left(\mathcal{H}\right)\right] = K_0\left(X\right) $$ donde $\mathcal{H}$ es cualquier espacio de Hilbert complejo separable, $\mathcal{F}\left(\mathcal{H}\right)$ es el conjunto de operadores de Fredholm sobre $\mathcal{H}$ , $X$ es cualquier espacio topológico, y $K_0$ es la topológica- $K_0$ que da, a grandes rasgos, clases de isomorfismo estables de haces vectoriales en $X$ .

Mi pregunta es, ¿cómo se puede completar la siguiente ecuación análoga para $K_1$ : $$ \left[X\to???\right] = K_1\left(X\right) $$ (o en lenguaje elegante, cuál es el espacio de clasificación del $K_1$ ¿Grupo?

A través de las suspensiones, podemos volver a traducir la pregunta a $K_0$ : $K_1\left(X\right)=K_0\left(S X\right)$ para que $$ \left[SX\to\mathcal{F}\left(\mathcal{H}\right)\right] = K_1\left(X\right) $$ Sin embargo, esto es desagradable, porque entonces se obtienen clases de homotopía de mapas de $SX$ en el L.H.S. en lugar de clases de homotopía de mapas de $X$ . Además, se desea una respuesta que tenga en cuenta la naturaleza más intrínseca de $K_1$ (a diferencia de $K_0$ --no mediante suspensiones): $K_1$ clasifica a los unitarios, al menos en la teoría K algebraica.

Lo más parecido que he podido encontrar son las pp. 11 de Higson, Connes, Baum que menciona operadores de Fredholm autoadjuntos que aparentemente definen una clase en $K_1$ . Sin embargo, pensé que siempre eran triviales.

Answer 1

La pregunta se responde en los comentarios: $[SX,\mathcal{F}]\cong [X,\Omega(\mathcal{F}(\mathcal{H}))]\cong [X,\Omega(\mathbb{Z}\times BU)]\cong [X,\Omega(BU)]\cong [X,U]$ .

Si quieres una definición más teórica de los operadores, puedes demostrar que existe una equivalencia de homotopía entre $U$ y el siguiente subgrupo $GL_c(\mathcal{H})$ de $GL(\mathcal{H})$

$$ GL_c(\mathcal{H}):=\{A\in GL(\mathcal{H})\,|\, A=1+K,\quad \text{with}\quad K\quad \text{a compact operator}\} $$

Son los operadores invertibles que difieren de la identidad por un operador compacto.

Es probable que esto se discuta en el documento: R. S. Palais, On the homotopy type of certain groups of operators, Topology 3 (1965), 271-279.

Edición: No creo que sea demasiado sorprendente que $GL_c(\mathcal{H})$ tiene la topología correcta. Recordemos que $GL(\mathbb{C}^\infty)$ deformación se retrae a $U$ ( $=U(\mathbb{C}^\infty)$ ). Puede ver un $A\in GL(C^\infty)$ como una matriz de la forma $$ A=\left(\begin{array}{cc}B&0\\0&1\end{array}\right) $$ donde $B\in GL(n)$ y $1$ representa la identidad en la segunda parte de $\mathbb{C}^\infty\cong \mathbb{C}^n\times \mathbb{C}^{\infty-n}$ . Si se incrusta $\mathbb{C}^\infty$ en un espacio de Hilbert complejo (mediante una elección de base) $B$ puede considerarse como un operador de rango finito. Los límites de los operadores de rango finito son operadores compactos, por lo que entendería $GL_c(\mathcal{H})$ como un cierre de $GL(C^\infty)$ .