¿Existe una forma clara de encontrar el signo de una función real con radicales como éste?

Question

Esta simple función:

$$f(x) = \sqrt{x+2} - 2\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$$

es negativo para $x>0$ (lo acabo de comprobar con una calculadora gráfica). Pero, ¿cómo "demostrar" esto algebraicamente?

La función surge del problema de encontrar cuál de estos números $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ y $\sqrt{11} - \sqrt{10}$ es más grande.

[BTW, dado que $f(x)$ es negativo, debería ser que $\sqrt{11} - \sqrt{10}$ es mayor que $\sqrt{12} - \sqrt{11}$ !]

Gracias.

Answer 1

\begin{align} f(x) &= \sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\\ &= \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}-(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\\ &=\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}-\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\ &<0 \end{align}

desde $x+2 > x$ .

Answer 2

Voy a probar $f(x)<0$

Así que necesito probar $\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}<0\left(x>0\right)$

O $\sqrt{x+2}+\sqrt{x}<2\sqrt{x+1}$

Elevando al cuadrado ambos lados tenemos: $\sqrt{x^2+2x}<x+1$

O $x^2+2x<x^2+2x+1\Leftrightarrow0<1$

Así que $f(x)<0$ significa $f(x)$ es negativo para $x>0$

Answer 3

Con algunos análisis

La función raíz cuadrada es estrictamente cóncavo Por lo tanto $$\sqrt{\tfrac12 x+\tfrac12(x+2)}=\sqrt{x+1}>\tfrac12\sqrt x+\tfrac12\sqrt{x+2}\iff \sqrt x+\sqrt{x+2}<2\sqrt{x+1}.$$

Answer 4

He aquí una respuesta basada en el cálculo, que me parece más intuitiva. Queremos demostrar que $$ \sqrt{x+1} - \sqrt{x} > \sqrt{x+2} - \sqrt{x + 1}. $$

Fijar $x > 0$ . Entonces el teorema fundamental del cálculo nos dice que lo que queremos demostrar es equivalente a $$ \int_{x}^{x+1} \frac1{2\sqrt{y}} \mathrm dy > \int_{x+1}^{x+2} \frac1{2\sqrt{y}} \mathrm dy. $$ Pero como la función $\sqrt{y}$ es estrictamente creciente, la función $\frac1{2\sqrt{y}}$ es estrictamente decreciente. En particular, la integración sobre un intervalo de longitud uno da números menores a medida que aumenta el límite inferior de dicho intervalo.

Answer 5

$(x+2)^{1/2}-(x+1)^{1/2} - ((x+1)^{1/2} -x^{1/2})$ .

MVT:

$(x+k+1)^{1/2}-(x+k)^{1/2}=$

$(1/2)(\frac{1}{a})^{1/2}×1,$ donde

$a \in (x+k, x+k+1)$ .

Compare los términos para $k=0,1$

Usado:

$\dfrac {f(x)-f(x_o)}{x-x_o}=f'(a)$ , donde

$a \in (\min(x_0,x),\max(x_0,x))$ .