Cómo probar $\lim_{n\to\infty}\sup A(t)\le\frac{a}{b}$ ?

Question

Supongamos que $A(t)>0(t\ge 0)$ , $a, b>0$ , dejemos que $$ A'(t)\le aA-bA^2. $$ Prueba $\lim_{n\to\infty}\sup A(t)\le\frac{a}{b}$ .

Utilizando la fórmula de Taylor $$ A(0)=A(t)-tA'(t)+o(t)\ge (1-ta)A(t) +tbA^2(t)+o(t). $$ entonces $$ \frac{A(0)+o(t)-A(t)}{tA(t)}\ge -a+bA(t). $$ por lo tanto, sólo necesito probar $$ \lim_{t\to\infty}\sup \frac{A(0)+o(t)-A(t)}{tA(t)}=0. $$ pero no tengo ni idea de la fórmula anterior.

¿Podría darme alguna pista? Gracias de antemano.

Answer 1

Reescribe la desigualdad como $$ A'\leq bA\Big(\frac ab -A\Big). $$ En particular $A$ es decreciente siempre que $A> \frac ab$ .

Arreglar cualquier $\epsilon>0$ entonces $A'\leq b\cdot \frac ab\cdot (-\epsilon)=-a\epsilon$ siempre que $A\geq \frac ab+\epsilon$ . Así que, o bien $A\leq \frac ab+\epsilon$ para todos $t$ o hay $t_0$ con $A(t_0)>\frac ab+\epsilon$ entonces $A$ es decreciente mientras $A>\frac ab$ . Sustituir $\epsilon$ por $\frac{\epsilon}{2}$ vemos $A'<-a\epsilon/2$ un límite superior negativo definido, siempre que $A>\frac ab+\frac{\epsilon}{2}$ . Así, después de $t_0$ $A$ disminuirá primero por debajo de $\frac ab+\frac{\epsilon}{2}$ . Nunca podrá volver a $\frac ab+\epsilon$ - tiene que disminuir cuando $A\in [\frac ab+\frac{\epsilon}{2}, \frac ab+\epsilon]$ . Así, $\limsup_{t\to\infty}A\leq \frac ab+\epsilon$ . Desde $\epsilon$ es arbitraria, vemos que $\limsup_{t\to\infty}A\leq \frac ab$ .

No creo que se pueda utilizar la expansión de Taylor en esta situación ya que implica grandes $t$ .