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Cómo probar lim ?

Supongamos que A(t)>0(t\ge 0) , a, b>0 , dejemos que A'(t)\le aA-bA^2. Prueba \lim_{n\to\infty}\sup A(t)\le\frac{a}{b} .

Utilizando la fórmula de Taylor A(0)=A(t)-tA'(t)+o(t)\ge (1-ta)A(t) +tbA^2(t)+o(t). entonces \frac{A(0)+o(t)-A(t)}{tA(t)}\ge -a+bA(t). por lo tanto, sólo necesito probar \lim_{t\to\infty}\sup \frac{A(0)+o(t)-A(t)}{tA(t)}=0. pero no tengo ni idea de la fórmula anterior.

¿Podría darme alguna pista? Gracias de antemano.

3voto

loganathan Puntos 730

Reescribe la desigualdad como A'\leq bA\Big(\frac ab -A\Big). En particular A es decreciente siempre que A> \frac ab .

Arreglar cualquier \epsilon>0 entonces A'\leq b\cdot \frac ab\cdot (-\epsilon)=-a\epsilon siempre que A\geq \frac ab+\epsilon . Así que, o bien A\leq \frac ab+\epsilon para todos t o hay t_0 con A(t_0)>\frac ab+\epsilon entonces A es decreciente mientras A>\frac ab . Sustituir \epsilon por \frac{\epsilon}{2} vemos A'<-a\epsilon/2 un límite superior negativo definido, siempre que A>\frac ab+\frac{\epsilon}{2} . Así, después de t_0 A disminuirá primero por debajo de \frac ab+\frac{\epsilon}{2} . Nunca podrá volver a \frac ab+\epsilon - tiene que disminuir cuando A\in [\frac ab+\frac{\epsilon}{2}, \frac ab+\epsilon] . Así, \limsup_{t\to\infty}A\leq \frac ab+\epsilon . Desde \epsilon es arbitraria, vemos que \limsup_{t\to\infty}A\leq \frac ab .

No creo que se pueda utilizar la expansión de Taylor en esta situación ya que implica grandes t .

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