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Cómo probar limnsupA(t)ablimnsupA(t)ab ?

Supongamos que A(t)>0(t0)A(t)>0(t0) , a,b>0a,b>0 , dejemos que A(t)aAbA2. Prueba limnsupA(t)ab .

Utilizando la fórmula de Taylor A(0)=A(t)tA(t)+o(t)(1ta)A(t)+tbA2(t)+o(t). entonces A(0)+o(t)A(t)tA(t)a+bA(t). por lo tanto, sólo necesito probar limtsupA(0)+o(t)A(t)tA(t)=0. pero no tengo ni idea de la fórmula anterior.

¿Podría darme alguna pista? Gracias de antemano.

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loganathan Puntos 730

Reescribe la desigualdad como AbA(abA). En particular A es decreciente siempre que A>ab .

Arreglar cualquier ϵ>0 entonces Abab(ϵ)=aϵ siempre que Aab+ϵ . Así que, o bien Aab+ϵ para todos t o hay t0 con A(t0)>ab+ϵ entonces A es decreciente mientras A>ab . Sustituir ϵ por ϵ2 vemos A<aϵ/2 un límite superior negativo definido, siempre que A>ab+ϵ2 . Así, después de t0 A disminuirá primero por debajo de ab+ϵ2 . Nunca podrá volver a ab+ϵ - tiene que disminuir cuando A[ab+ϵ2,ab+ϵ] . Así, lim suptAab+ϵ . Desde ϵ es arbitraria, vemos que lim suptAab .

No creo que se pueda utilizar la expansión de Taylor en esta situación ya que implica grandes t .

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