Reescribe la desigualdad como A'\leq bA\Big(\frac ab -A\Big). En particular A es decreciente siempre que A> \frac ab .
Arreglar cualquier \epsilon>0 entonces A'\leq b\cdot \frac ab\cdot (-\epsilon)=-a\epsilon siempre que A\geq \frac ab+\epsilon . Así que, o bien A\leq \frac ab+\epsilon para todos t o hay t_0 con A(t_0)>\frac ab+\epsilon entonces A es decreciente mientras A>\frac ab . Sustituir \epsilon por \frac{\epsilon}{2} vemos A'<-a\epsilon/2 un límite superior negativo definido, siempre que A>\frac ab+\frac{\epsilon}{2} . Así, después de t_0 A disminuirá primero por debajo de \frac ab+\frac{\epsilon}{2} . Nunca podrá volver a \frac ab+\epsilon - tiene que disminuir cuando A\in [\frac ab+\frac{\epsilon}{2}, \frac ab+\epsilon] . Así, \limsup_{t\to\infty}A\leq \frac ab+\epsilon . Desde \epsilon es arbitraria, vemos que \limsup_{t\to\infty}A\leq \frac ab .
No creo que se pueda utilizar la expansión de Taylor en esta situación ya que implica grandes t .