¿Por qué es que tantas personas se preocupan tanto acerca de las funciones zeta? ¿Por qué la gente escribe libros y libros específicamente sobre la teoría de Riemann Zeta funciones?
¿Cuál es su propósito? Es sólo para el desarrollo de pequeñas áreas de la matemática pura?
Por un lado, la de Riemann Zeta función tiene muchas propiedades interesantes. Nadie sabía de una forma cerrada de $\zeta (2)$ hasta Euler famoso encontrado, junto con todos los incluso enteros positivos: $$\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$$
Sin embargo, a día de hoy, no nice forma cerrada es conocido por los valores en el formulario de $\zeta(2n+1)$.
Otra de las principales necesidades de los Zeta función está relacionada con la hipótesis de Riemann. Esta conjetura si bastante simple de entender. Esencialmente, es la hipótesis que los ceros no triviales de la función zeta tiene una parte real de 1/2. Esta hipótesis, si se prueba que es cierto, tiene importantes implicaciones en la teoría de números y la distribución de los números primos.
La Riemann zeta función también se produce en muchos campos, y aparece ocasionalmente cuando la evaluación de las distintas ecuaciones, así como muchas otras funciones.
Por último, la suma
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$
es muy natural para tratar y estudiar, evaluar y es especialmente interesante debido a las mencionadas propiedades y más.
La gente escribe libros sobre la teoría de Riemann Zeta funciones porque no está lo suficientemente desarrollado la teoría y suficientes aplicaciones para justificar una dedicada libro, de la misma manera que la gente escribe libros específicamente sobre curvas elípticas o ecuación de Schrödinger.
Como por el interés de la investigación en la Hipótesis de Riemann, este MO hilo reúne algunas de sus consecuencias y da una idea de a qué partes de las matemáticas se pueden aplicar.
Y como para los más "populares" de interés, he aquí una cita de uno de los mencionados libros, Edwards Riemann Zeta Función:
La experiencia de Riemann, sucesores con la hipótesis de Riemann ha sido el mismo que Riemann -- que también en cuenta su verdad "muy probable" y que también han sido incapaces de demostrarlo. ... el intento de resolver este problema que ha ocupado a los mejores esfuerzos de muchos de los mejores matemáticos del siglo xx. Es ahora, sin duda, la más célebre problema en matemáticas y que sigue atrayendo la atención de los mejores matemáticos, no sólo porque se ha quedado sin resolver durante tanto tiempo, pero también porque parece sorprendentemente vulnerable y porque su solución probablemente iba a traer la luz a las nuevas técnicas de gran alcance.
Que a partir de 1974, y es probablemente aún más aplicable hoy en día.
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