Estimaciones que implican sumas con binomios

Question

Al calcular algunas probabilidades, obtuve sumas de la forma $$\sum_{j=0}^c {j+a+b \choose a} p^j,$$ para los enteros $a, b, c > 0$ .

¿Alguien conoce formas cerradas para estos valores?

Answer 1

No tengo tiempo ahora para elaborar la respuesta exacta, pero los métodos e identidades en el tercio medio de esta entrada del blog dará una forma cerrada para un $a$ . Utiliza la fórmula de la serie geométrica para encontrar $\sum_{j=0}^c p^{a+b+j}$ , diferenciar $a$ veces con respecto a $p$ y luego dividir por $a! p^b$ .

Si una forma cerrada para un $a$ no es suficiente, probablemente deberías ser más preciso sobre cuáles de tus parámetros son grandes y cuáles son pequeños.

Edición: Todavía no tengo tiempo para dar una respuesta completa, pero aquí hay un truco divertido. En lugar de calcular la respuesta para la fija $a$ podemos escribir una función generadora

$$\displaystyle P_{b,c}(x) = \sum_{a=0}^{\infty} x^a \sum_{j=0}^c {a+b+j \choose a} p^j$$

entonces intercambia el orden de la suma, dando

$$\displaystyle \begin{align} P_{b,c}(x) &= \sum_{j=0}^c p^j \sum_{a=0}^{\infty} {a+b+j \choose a} x^a \\ &= \sum_{j=0}^c p^j \frac{1}{(1 - x)^{b+j+1}} \\ &= \frac{1}{(1 - x)^{b+1}} \sum_{j=0}^c \left( \frac{p}{1-x} \right)^j \\ &= \frac{1}{(1 - x)^{b+1}} \frac{1 - \left( \frac{p}{1-x} \right)^{c+1}}{1 - \frac{p}{1-x}} \\ &= \frac{(1-x)^{c+1} - p^{c+1}}{(1 - x)^{b+c+1}(1 - p - x)}. \end{align}$$

Entonces el coeficiente de $x^a$ de esta función racional es el número que quieres. No estoy seguro de la utilidad de esto para ti, pero podrías extraer una asíntota útil de ella. La identidad en la segunda línea es el teorema del binomio para exponentes negativos.

Answer 2

Si no necesitas una forma cerrada exacta o sólo te interesa el crecimiento asintótico Aproximación de Stirling puede ser útil. Lo he encontrado útil en el pasado para generar buenos límites asintóticos en funciones similares.