Cociente dimensional finito $\Rightarrow$ ¿Cerrado?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $V\subset X$ un subespacio. Supongamos que el espacio cociente $X/V$ es de dimensión finita. Es $V$ ¿entonces cerrado?

En otras palabras: si $V$ no está cerrado, entonces puede $X/V$ ser de dimensión finita?

(Creo que la respuesta es NO)

Answer 1

Dejemos que $V$ sea el núcleo de un funcional lineal discontinuo $f$ . Entonces $X/V$ es unidimensional pero $V$ no está cerrado (teorema del mapa abierto).