¿Cuáles son las fórmulas de la fuente de ondas puntuales y volumétricas?

Question

La fórmula para la fuente de ondas puntuales es

$A(r)=\frac{a_0 \sin(\omega t + \phi)}{r^2}$

y tiene una singularidad en cero.

Entonces, si integro esta función sobre cualquier volumen finito, obtendré el infinito.

Entonces, ¿cuál es la función que debe integrarse sobre un volumen, para obtener la fórmula total de la onda? emitida por la fuente no puntual de elementos coherentes?

Answer 1

Consideremos una onda esférica que va como

$$\phi(r,t)=a_0e^{ikr\cos(\theta)-i\omega t+i\psi}\frac{1}{r}$$

típico de un campo de radiación. En su caso, se desprecia la dependencia espacial y finalmente se obtiene, tomando la parte real,

$$\phi(r,t)=a_0\cos({\omega t+\psi})\frac{1}{r}.$$

Como sabes, tienes que tomar el cuadrado para obtener la densidad de energía y luego integrar en el volumen. Así que,

$$W=\int_V d^3x\phi^2(r,t)$$

y suponemos que el volumen es finito y esférico con radio $R$ . Pero ahora, en coordenadas esféricas, tenemos $d^3x=r^2drd\Omega$ y se puede integrar inmediatamente en el ángulo sólido obteniendo $4\pi$ . Esto dará

$$W=4\pi\int_0^R r^2dra_0^2\frac{1}{r^2}\cos^2({\omega t+\psi})=4\pi Ra_0^2\cos^2({\omega t+\psi})$$

donde se ve que el elemento de volumen compensa su comportamiento singular dando una energía finita como uno físicamente debería esperar. Si tienes en mente una lámpara notarás que la energía radiada no te quema.