Cómo encontrar una función generadora de momentos dada $p(x)=\frac1{x(x+1)}$ para $x\geqslant1$ ?

Question

Se dio para encontrar la función generadora de momentos para $p(x)=\frac1{x(x+1)}$ para $x\geqslant1$ . Así que intenté hacer E(e^(t*x)) y terminé en la suma de 1+(e^t/2)+((e^(2*t)/6)+((e^(3*t)/12)+.....Ahora no sé qué hacer.No puedo sumar esta secuencia.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $p_n=\frac1n - \frac1{n+1}$ por lo que $p_n = \frac1{n(n+1)}$ es la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria $X$ . Ahora bien, si $|s|<1$ tenemos $$\mathbb E\left[|s^X|\right] = \sum_{n=1}^\infty \frac{|s|^n}{n(n+1)}\leqslant\sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)}=1, $$ y así, por convergencia absoluta de la serie anterior, la función generadora de $X$ es \begin{align} \mathbb E\left[s^X\right] &= \sum_{n=1}^\infty s^n\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{s^n}n - \sum_{n=1}^\infty \frac{s^n}{n+1}\\ &= -\log(1-s) - \frac1s\left(\sum_{n=2}^\infty \frac{s^n}n\right)\\ &= -\log(1-s) -\frac1s\left(-\log(1-s)-s\right)\\ &= 1+\frac1s(1-s)\log(1-s). \end{align} La función generadora de momentos vendría igualmente dada por $$\mathbb E\left[e^{tX}\right] = 1+\frac1{e^t}(1-e^t)\log(1-e^t)\qquad (t<0). $$