¿Existe $u(x)\neq 0$ tal que la integral es igual a $0$ ?

Question

Dejemos que $\theta \in \mathbb R$ . ¿Existe una función $u(x)\neq 0$ no depende de $\theta$ , de tal manera que $$\int\limits_{0}^{\theta} u(x)(\theta-x) dx = 0 ?$$

Paso mucho tiempo para tratar de adivinar $u(x)$ como $u(x)=x$ , $u(x)=x^2$ , $u(x)=x^3$ pero la integral no es igual $0$ .

Entonces, ¿existe $u(x)\neq 0$ tal que la integral es igual a $0$ ? ¿Hay alguna manera de encontrar $u(x)$ ¿sin adivinar?

Answer 1

Si $\ \displaystyle\int_0^\theta u(x)(\theta-x)xdx =0\ $ para todo valores de $\ \theta\ $ y $\ u\ $ no depende de theta, entonces \begin{align} 0&=\frac{d}{d\theta} \int_0^\theta u(x)(\theta-x)dx\\ &=u(\theta)(\theta-\theta) + \int_0^\theta u(x)dx\\ &= \int_0^\theta u(x)dx\ . \end{align} Ahora diferenciando la ecuación $\ \displaystyle\int_0^\theta u(x)dx=0\ $ con respecto a $\ \theta\ $ da $ u(\theta)=0\ $ . Si $\ u\ $ es continua, esto debe ser cierto para todos los valores de $\ \theta\ $ . Si $\ u\ $ no se requiere que sea continua, debe seguir siendo cierta con la posible excepción de que para los valores de $\ \theta\ $ que se encuentra dentro de algún conjunto de medida cero.

Answer 2

Como $\theta-x$ es una línea recta $\int_0^{\theta}\theta-xdx = \frac{\theta^2}{2}$ Ahora existe un $c$ en $(0,\theta) $ tal que $\int_0^{c}\theta-xdx = \int_c^{\theta}\theta-xdx $ así que, ahora define $u(x) = 1$ para x en $[0,c]$ y $u(x)=-1$ en $(c,\theta]$ y tenemos el valor de esa integral $0$ .