Dejemos que $\mathbb{Q}$ sean los racionales y $G$ un grupo. Entonces consideramos el anillo de grupo $\mathbb{Q}[G]$ .
Dado que la operación de $\mathbb{Q}[G]$ restringido a $G$ es sólo la operación de grupo, sé que $G$ es un subgrupo de las unidades de $\mathbb{Q}[G]$ .
¿Cómo podemos describir todas las unidades de $\mathbb{Q}[G]$ ?
Para un grupo general $G$ este es un problema difícil.
Permítanme mencionar los avances parciales que recuerdo.
Por un lado, si $G$ no es libre de torsión, hay un teorema en la obra de Passman Estructura algebraica de los anillos de grupo que dice que las unidades de $F[G]$ para un campo $F$ son triviales si $G$ es $F_2[C_2]$ , $F_2[C_3]$ o $F_3[C_2]$ . ( $F_i$ denota un campo de orden $i$ y $C_i$ el orden del grupo cíclico $i$ .)
Así que la atención se restringe normalmente a los grupos libres de torsión, y la conjetura abierta es la conjetura de la unidad que pregunta si $F[G]$ tiene unidades triviales para cualquier campo $F$ y cualquier grupo libre de torsión $G$ .
Dos buenos recursos que puedo recomendar son Passman's Estructura algebraica de los anillos de grupo y Lam's Primer curso sobre anillos no conmutativos Creo que tiene algo de información al respecto. No tengo copias de los libros de anillos de grupo de Milies, pero recuerdo que cuando los consulté eran muy buenos también.
Por último, a través de este puesto de MO Encontré una muy interesante juego de diapositivas para hablar de la dificultad de la conjetura, que parece muy buena.
Esto no es una respuesta, sino un poco de inspiración. En esta configuración general que has dado no se sabe nada sobre el grupo de unidades de este anillo, excepto que -como ya has mencionado- tiene un subgrupo isomorfo a $G$ .
En casos especiales hay algunas referencias que puedo darles:
Leer el Artículo de Wikipedia sobre anillos de grupo en general. Si $G$ es un grupo finito, los módulos sobre el anillo del grupo coinciden con representaciones lineales de $G$ y como $\mathbb{Q}[G]$ es un módulo sobre sí mismo, contiene toda representación lineal de $G$ . Esto se denomina representación regular .
Además, hay una antigua artículo de Higman teniendo algunos buenos resultados en el caso de $G$ abeliana finita.
Por último, pero no menos importante, me gustaría este hilo en MO que recoge algunos casos sobre álgebras de grupo.
Espero que eso te ayude. Tal vez alguien más sepa algo más sobre las unidades.
Disfruta, Tom
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