¿Esta condición hace que una matriz sea definida positiva?

Question

Dejemos que $Y$ sea una variable aleatoria escalar de valor real y que $X$ sea un vector aleatorio de valor real. Supongamos que $E(Y^2 XX')$ es positiva definida. ¿Implica esto que $E(XX')$ es positiva definida?

Creo que la respuesta intuitiva sería que sí. Consideremos, por ejemplo, el caso especial en el que $X$ es una variable aleatoria escalar. Entonces $XX' = X^2$ . Así que $E(XX')$ no es positiva definida si $E(X^2) = 0$ . Esto a su vez significa que $X=0$ con probabilidad $1$ Así que $E(Y^2 XX') = E(Y^2X^2) = 0$ . Es decir, $E(XX') = E(X^2)$ debe ser definida positiva si $E(Y^2 XX') = E(Y^2X^2)$ es positiva definida.

Pero cómo argumentar, cuando $X$ ¿es un vector?

Lo mejor,

Esben

Answer 1

Dejemos que $A_n = E\left(\mathbf{1}_{\frac1n<Y<n}\ Y^2XX'\right)$ , donde $\mathbf{1}$ denota la función indicadora. Entonces $\lim\limits_{n\to\infty} A_n=E(Y^2XX')\succ0$ . Por lo tanto, $A_n\succ0$ para algunos $n$ y $$ E(XX') \succeq E\left(\mathbf{1}_{\frac1n<Y<n}\ XX'\right) \succeq E\left(\mathbf{1}_{\frac1n<Y<n}\ \frac{1}{n^2}{Y^2}XX'\right) =\frac1{n^2}A_n \succ0. $$