Suma de una serie similar a la serie exponencial

Question

¿Existe una expresión de forma cerrada o un $\textbf{approximation}$ para la suma de abajo:

$\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^{kx}}{{(kx)!}}$ donde k es una constante.

Sé que si $k=1$ se reduce a $e^{x}$ . Pero, ¿qué ocurre para los valores generales de $k$ .

Answer 1

Esto lleva a una interesante familia de funciones, parecidas a $\cosh$ , $\sinh$ ( No sé si tienen un nombre estándar).

De hecho, cambiando un poco los símbolos y poniendo $$ e^{\,z} = \sum\limits_{0\, \le \,n} {{{z^{\,n} } \over {n!}}} = \sum\limits_{\scriptstyle 0\, \le \,j \atop \scriptstyle 0\, \le \,k\; \le \,h} {{{z^{\,j\,\left( {h + 1} \right) + k} } \over {\left( {j\,\left( {h + 1} \right) + k} \right)!}}} = \sum\limits_{0\, \le \,l\; \le \,h} {{\rm cemh}_{\;h,\,k} (z)} $$ para los primeros valores de $h$ obtenemos $$ \eqalign{ & h = 0\quad \Rightarrow \quad {\rm cemh}_{\;0,\,0} (z) = e^{\,z} \cr & h = 1\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ {\rm cemh}_{\;1,\,0} (z) = \cosh (z) \hfill \cr {\rm cemh}_{\;1,\,1} (z) = \sinh (z) \hfill \cr} \right. \cr} $$

Así que estas familias son una descomposición de $e^z$ en potencias modulares, continuando desde la descomposición par/impar dada por $\cosh, \sinh$ .

Es fácil demostrar que comparten muchas propiedades de la función trigonométrica hiperbólica, empezando por que la derivada / integral cicla en el segundo índice $$ \int {{\rm cemh}_{\;h,\,n} (z)dz} = {\rm cemh}_{\;h,\,\,\bmod (n + 1,h + 1)} (z) $$

Además, a través de la teoría de las series de potencia formales, es posible expresarlas mediante una combinación de la exp de las raíces unitarias.

--- adenda ---

en Wikipedia se llama multisección de una serie de potencias

Answer 2

Para ampliar la respuesta de G Cab: su serie puede expresarse como $$f_k(\lambda)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda^{kn}}{(kn)!}=\frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1} e^{\lambda \zeta_k^n}$$ donde $\zeta_k$ es la raíz k de la unidad definida como $\zeta_k:=e^{2\pi i/k}$ .

Por poner algunos ejemplos: $$f_2(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $$f_3(x)=\frac{e^x+e^{\sqrt 3 x/2}\cos(x/2)+e^{-\sqrt 3x/2}\cos(x/2)}{3}$$ $$f_4(x)=\frac{e^x+e^{-x}+2\cos(x)}{4}$$