La proposición es de "Análisis Real y Complejo" de Rudin.Dice:
Dejemos que $s$ sea una función simple medible no negativa sobre $X$ . Para $E\in\mathfrak M$ (donde $\mathfrak M$ es un $\sigma$ -álgebra en $X$ ), defina $$\varphi(E)\equiv\int_{E} s\,d\mu\equiv\sum^{n}_{i=1}\alpha_i\mu(A_i\cap E)$$ Entonces $\varphi$ es una medida sobre $\mathfrak M$ . ( $\mu$ es una medida positiva.El significado detrás de $\alpha$ y $A_i$ se abordará más adelante...)
La prueba de la proposición dice.
Dejemos que $E$ sea la unión de conjuntos disjuntos $E_r$ es decir $E_1, E_2,... $ . Si $s$ es como se ha definido antes
$$s=\sum^{n}_{i=1}\alpha_i\chi_{A_i}$$
donde $\alpha_i$ son los valores distintos de la función simple $s$ , $A_i=\{x:s(x)=\alpha_i\}$ y $\chi_{A_i}$ es la función característica de $A_i$ . $$\\$$ La aditividad contable de $\mu$ muestra que $$\varphi(E)=\sum^{n}_{i=1}\alpha_i\mu(A_i\cap E)=\sum^{n}_{i=1}\alpha_i\sum^{\infty}_{r=1}\mu(A_i\cap E_r)$$ $$=\sum^{\infty}_{r=1}\sum^{n}_{i=1}\alpha_i\mu(A_i\cap E_r)=\sum_{r=1}^{\infty}\varphi(E_r)$$ También $\varphi(\emptyset)=0$ para que $\varphi$ no es idéntico $\infty$ .
Lo que no entiendo es la última afirmación: "También $\varphi(\emptyset)=0$ para que $\varphi$ no es idéntico $\infty$ No entiendo muy bien cómo el hecho de que $\varphi(\emptyset)=0$ conduce al hecho de que $\varphi$ no es idénticamente infinito. ¿O es un malentendido por mi parte? Me preguntaba si esta afirmación pretendía enfatizar el hecho de que $\varphi<\infty$ durante al menos $E\in\mathfrak M$ . ¿O significa algo más?
