Congruencias de demostración

Question

Suponiendo que $m=p_1^{\alpha_1}...p_r^{\alpha_r}$ . Demostrar que $$a\equiv b\pmod m\Longleftrightarrow a\equiv b\pmod {p_i^{\alpha_i}},\;i={1,...,r}$$

Siempre me han parecido muy bonitas las afirmaciones que contienen números de esta manera $$x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}p_4^{\alpha_4}...p_w^{\alpha_w}$$ y estar aquí estudiando congruencias, se encontró con come esta cuestión, que por desgracia ni siquiera saben por dónde empezar o qué hacer ... Mientras que las declaraciones como estas, no puedo entender muy fácilmente por lo que le pido que hacer POR FAVOR, DETALLA ...

Le agradezco

Answer 1

Lema 1: si $c$ y $d$ son coprimos y ambos dividen $x$ , entonces su producto divide $x$ .

Prueba: sobre las hipótesis, $x=cr=ds$ para algunos enteros $r,s$ Así que $c$ divide $ds$ . Que, con $c$ siendo coprima de $d$ implica (por un resultado estándar) que $c$ divide $s$ Así que $s=ct$ para algún número entero $t$ Así que $x=cdt$ Así que $cd$ divide $x$ .

Lema 2: si $c_1,c_2,\dots,c_r$ son coprimos por parejas, y todos dividen $x$ , entonces su producto divide $x$ .

Prueba: por inducción en $r$ con el lema 1 como base de la inducción.

Teorema: si $p_1,p_2,\dots,p_r$ son primos distintos, y $m=p_1^{u_1}p_2^{u_2}\times\cdots\times p_r^{u_r}$ y $a\equiv b\pmod{p_i^{u_i}}$ para todos $i$ entonces $a\equiv b\pmod m$ .

Prueba: los números $p_i^{u_i}$ son coprimas entre sí, por lo que se aplica el lema 2.

Answer 2

$(\Longrightarrow)\\a\equiv b\pmod m\Longrightarrow a\equiv b\pmod{p_1^{\alpha_1}...p_r^{\alpha_r}}$

Sea $m=p_1^{\alpha_1}...p_i^{\alpha_i}...p_r^{\alpha_r}$ con $i=1,...,r$ entonces, sabiendo que $$\text{If}\;\;(p_i^{\alpha_i},p_j^{\alpha_j})=1\;\text{with}\;\;i\neq j\;\;\text{and}\;\;j=1,...,r$$ Como $a\equiv b\pmod m$ entonces $m\mid (a-b)$ implica $p_1^{\alpha_1}...p_r^{\alpha_r}\mid (a-b)$ implica $a-b=p_1^{\alpha_1}...p_r^{\alpha_r}\cdot k$ con $k\in\mathbb{N}$ entonces $$a-b=p_i^{\alpha_i}(p_1^{\alpha_1}...p_r^{\alpha_r}\cdot k)\Longrightarrow p_i^{\alpha_i}\mid (a-b)\Longrightarrow a\equiv b\pmod {p_i^{\alpha_i}}$$$\Box$$$$$ ¿Correcto?

Answer 3

Pista: Demuestre que si $(n_1,n_2)=1$ entonces $n_1\cdot n_2|(a-b)$ si y sólo si $n_1|(a-b)$ y $n_2|(a-b)$ .