Si $x$ , $\{x\}$ , $\lfloor x\rfloor$ están en G.P, encontrar $x$ .

Question

Si $x$ , $\{x\}$ , $\lfloor x\rfloor$ están en Progresión Geométrica, encuentra $x$ ; $x \neq 0$ .

Aquí, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$

Algunas propiedades son bastante evidentes: $$0\leq \{x\} < 1 \tag{1}$$ $$\lfloor x \rfloor \leq x\tag{2}$$

Pero parece que no puedo usarlos para sustituir y encontrar una ecuación para $x$ . Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Enfoque básico. Suponemos que $x > 1$ . (Esto es un error; la respuesta de Michael da una solución donde $x < 0$ .)

En este caso, dejemos que los tres números se denoten, en su lugar, $r, n, n+r$ , donde $n$ es un número entero positivo y $r$ es un valor real tal que $0 \leq r < 1$ . Podemos determinar rápidamente que $r > 1/2$ (¿por qué?) y así $n = 1$ (¿por qué?). A continuación, encuentre $r$ tal que

$$ r = \frac{1}{1+r} $$

Debe obtener un número razonablemente conocido (para $1+r$ ).

Answer 2

Dejemos que $x=n+y$ , $n=\lfloor x\rfloor$ y $y=\{x\}$ Como estos números están en progresión geométrica, tenemos $x/y=y/n$ o

$$\frac {n+y}{y}=\frac yn$$ $$(n+y)n=y^2$$ $$y^2 - n^2 - ny = 0$$ $$y=\frac{n\pm n\sqrt{5}}2$$

$y$ está entre 0 y 1, por lo que $n(1\pm\sqrt{5})/2$ tiene que estar entre $0$ y $1$ .
Esto es imposible para $(1+\sqrt{5})/2$ ya que el primer múltiplo positivo de 1,618 es más que 1. Pero para $(1-\sqrt{5})/2\approx-0.618$ , tenemos que $n=-1$

Así que $$n=-1\\y=n\frac{1-\sqrt{5}}2=\frac{\sqrt{5}-1}2$$ $$x=n+y=\frac{\sqrt{5}-3}2 $$

Así que $x=-\phi^{-2}$ y $\{x\}=\phi^{-1}$