Demostrar que los valores propios de una matriz simétrica real son reales

Question

Tengo dificultades con la siguiente pregunta. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Dejemos que $A$ ser un $n×n$ matriz real tal que $A^T = A$ . Llamamos a tales matrices "simétricas". Demostrar que los valores propios de una matriz simétrica real son reales (es decir, si $\lambda$ es un valor propio de $A$ , demuestran que $\lambda = \overline{\lambda}$ )

Answer 1

Encontré la prueba en este documento para que sea informativo y educativo.

El teorema espectral establece que si $A$ es un $n \times n$ matriz simétrica con entradas reales, entonces tiene $n$ vectores propios ortogonales. El primer paso de la prueba es mostrar que todas las raíces del polinomio característico de $A$ (es decir, los valores propios de $A$ ) son números reales.

Recordemos que si $z = a + bi$ es un número complejo, su conjugado complejo se define por $\bar{z} = a bi$ . Tenemos $z \bar{z} = (a + bi)(a bi) = a^2 + b^2$ Así que $z\bar{z}$ es siempre un número real no negativo (y es igual a $0$ sólo cuando $z = 0$ ). También es cierto que si $w$ , $z$ son números complejos, entonces $\overline{wz} = \bar{w}\bar{z}$ .

Dejemos que $\mathbf{v}$ sea un vector cuyas entradas pueden ser complejas. Ya no es cierto que $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \ge 0$ con igualdad sólo cuando $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ . Por ejemplo,

$$\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = 1 + i^2 = 0$$

Sin embargo, si $\bar{\mathbf{v}}$ es el complejo conjugado de $\mathbf{v}$ es cierto que $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \ge 0$ con igualdad sólo cuando $\mathbf{v} = 0$ . De hecho,

$$\begin{bmatrix} a_1 - b_1 i \\ a_2 - b_2 i \\ \dots \\ a_n - b_n i \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1 + b_1 i \\ a_2 + b_2 i \\ \dots \\ a_n + b_n i \end{bmatrix} = (a_1^2 + b_1^2) + (a_2^2 + b_2^2) + \dots + (a_n^2 + b_n^2)$$

que siempre es no negativo y sólo es igual a cero cuando todas las entradas $a_i$ y $b_i$ son cero.

Teniendo esto en cuenta, supongamos que $\lambda$ es un valor propio (posiblemente complejo) de la matriz simétrica real $A$ . Por tanto, existe un vector no nulo $\mathbf{v}$ , también con entradas complejas, tal que $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ . Tomando el complejo conjugado de ambos lados, y observando que $A = A$ desde $A$ tiene entradas reales, obtenemos $\overline{A\mathbf{v}} = \overline{\lambda \mathbf{v}} \Rightarrow A \overline{\mathbf{v}} = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{v}}$ . Entonces, utilizando esa $A^T = A$ ,

$$\overline{\mathbf{v}}^T A \mathbf{v} = \overline{\mathbf{v}}^T(A \mathbf{v}) = \overline{\mathbf{v}}^T(\lambda \mathbf{v}) = \lambda(\overline{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{v}),$$

$$\overline{\mathbf{v}}^T A \mathbf{v} = (A \overline{\mathbf{v}})^T \mathbf{v} = (\overline{\lambda} \overline{\mathbf{v}})^T \mathbf{v} = \overline{\lambda}(\overline{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{v}).$$

Desde $\mathbf{v} \not= \mathbf{0}$ tenemos $\overline{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{v} \not= 0$ . Así, $\lambda = \overline{\lambda}$ , lo que significa que $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Para más información sobre cómo el autor llega desde $\overline{\mathbf{v}}^T(\lambda \mathbf{v})$ a $\lambda(\overline{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{v})$ y de $(\overline{\lambda} \overline{\mathbf{v}})^T \mathbf{v}$ a $\overline{\lambda}(\overline{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{v})$ , ver este pregunta.

Answer 2

Desde $A^* = A$ , $(x^*Ax)^* = x^*Ax$ . Por lo tanto, $x^*Ax$ es un número real para cualquier $x$ . Si $x$ es un valor propio de $A$ con valor propio $\lambda$ tenemos $x^*Ax = x^*(\lambda x) = \lambda x^*x$ . Desde $x^*Ax$ y $x^*x$ son siempre reales (y $x^*x$ no es cero para un vector propio $x$ ), esto significa $\lambda$ debe ser real también.

Answer 3

Sugerencia: para cada $n\times n$ matriz $M$ $$ \langle Mv , w\rangle ~=~ \langle v , M^H w\rangle $$ donde $M^H$ es la transposición conjugada de $M$ y $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$ es el producto interior complejo (es decir $\langle v,w\rangle=v^Hw$ ).

1. Piensa en cómo los valores propios de $M^H$ y los de $M$ están relacionados
2. Dejemos que $v$ ser un $\lambda$ -eigenvector de $M$ y prueba lo que sucede eligiendo $v=w$ en la ecuación anterior
3. Ahora, si $A$ es de valor real y simétrico, entonces $A^H=A$ ; intente de nuevo el segundo punto con $M=A$ ...