Tengo dificultades con la siguiente pregunta. Cualquier ayuda será muy apreciada.
Dejemos que $A$ ser un $n×n$ matriz real tal que $A^T = A$ . Llamamos a tales matrices "simétricas". Demostrar que los valores propios de una matriz simétrica real son reales (es decir, si $\lambda$ es un valor propio de $A$ , demuestran que $\lambda = \overline{\lambda}$ )
Sólo por $\lambda^2$ es real $\lambda$ no es real en general. y aún así se necesita no negativo, porque $Av=0$ seguramente no será positivo. y su ecuación es confusa
Si $\lambda^2$ es positivo y real, entonces $\lambda$ es real. ¿Qué es lo que confunde? Y vale, podemos asumir $\lambda$ ¡no es cero! El cero es real, obviamente.
Dejemos que $Ax=\lambda x$ con $x\ne 0$ con $\lambda\in\mathbb{R}$ entonces \begin{align} \lambda \bar x^T x &= \bar x^T(\lambda x)\\ &=\bar x^T A x \\ &=(A^T \bar{x})^T x \\ &=(A \bar x)^T x \\ &=(\bar A \bar x)^T x \\ &=(\bar\lambda\bar x)^T x\\ &=\bar \lambda \bar x^T x.\\ \end{align} Porque $x\ne 0$ entonces $\bar{x}^T x\ne 0$ y $\lambda=\bar \lambda$ .
Buena prueba. El único paso que no es obvio para mí es $\bar A \bar x = \bar \lambda \bar x$
En realidad, si eso fuera cierto, la prueba podría ser mucho más sencilla: $A x = \lambda x = \bar A x = \bar \lambda x \Rightarrow \lambda = \bar \lambda$
Si $\lambda$ es cualquier valor propio de una matriz hermitiana (en particular, simétrica real) $A$ entonces para algún vector no nulo $x$ , $$Ax = \lambda x \implies x^*Ax = \lambda x^*x \implies \lambda = \dfrac{x^*Ax}{x^*x}.$$
Ahora $$\lambda^* = \dfrac{x^* A^* x}{x^*x} = \dfrac{x^*Ax}{x^*x} = \lambda.$$ Por lo tanto, $\lambda$ es real.
Nota: $(AB)^* = B^*A^*$ .
Como $A^*=A$ Incluso se obtiene $x^*A^*x=x^*Ax$ directamente sin ningún paso intermedio. Y eso es todo lo que se necesita para que los valores propios no nulos sean reales. Por cierto, acabo de ver tu indirecta, +1.
Es una tarea, así que pensé en dar una pista. Sí, la ecuación es bastante obvia, pero vale la pena mencionarla en la tarea, supongo.
Se da que A es simétrico real, es decir \begin{align*} A = A^T \end{align*} Si A tuviera valores propios complejos, entonces podemos escribir \begin{align*} Ax = \lambda x \\ A\bar{x} = \bar{\lambda}\bar{x} \end{align*} Bajo la conjugación compleja, podemos escribir \begin{align} \bar{x}^TAx = \bar{x}^T\lambda x = \lambda ||x||^2 \tag{i} \\ x^TA\bar{x} = x^T\bar{\lambda}x = \bar{\lambda}||x||^2 \tag{ii}.\\ \end{align} Como A es simétrico, $$\begin{align} \bar{x}^TAx = & (Ax)^{T} \bar{x} \\ = & x^{T} A^{T} \bar{x} \\ = & x^{T} A \bar{x}. \end{align}$$ Restando (i) de (ii), obtenemos \begin{align*} \bar{\lambda}||x||^2 - \lambda ||x||^2 = 0\\ (\bar{\lambda}-\lambda)||x||^2 = 0 \end{align*} La única manera de que esto sea posible para una z no nula es si \begin{align*} \lambda = \bar{\lambda} \end{align*} Por lo tanto, $\lambda$ es real.
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Un verdadero $n\times n$ la matriz sólo puede tener valores propios reales (cada cero complejo de la característica no es un valor propio de la matriz real)
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@Susan : vea la respuesta de Dominic. Tendrás que utilizar el "producto interno complejo" $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i=1}^n {\bar x_i}y_i$ . Véase también la respuesta de Lepidopterist, donde $C^*$ es la transposición conjugada de $C$ , $C^* = {\bar {C^T}}$ .
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@DominicMichaelis : ¿realmente quieres decir que (una matriz cuadrada real sólo puede tener valores propios reales)? Me temo que puedes confundir a Susan. ¿Qué pasa con $[0, 1;-1, 0]$ con valores propios $\pm i$ ? (Lo siento, no recuerdo el $\LaTeX$ para escribir una matriz
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@StefanSmith si lo consideras como una matriz real, no tiene valores propios.
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Siguiendo el camino de Dominic o el de Lepidopterist, verás fácilmente que los valores propios (a priori complejos) deben ser reales. Obsérvese que exactamente las mismas pruebas muestran que los valores propios de una hermitiana $A^*=A$ son reales en el caso complejo general.