¿Cuál es la probabilidad de seleccionar calcetines del mismo color?

Question

Lo siento si esto ya se ha respondido antes.

Hay un cajón con 20 calcetines negros y 20 blancos. Cogemos un calcetín. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo calcetín elegido al azar tenga el mismo color que el segundo?

Tengo dos formas de pensar al respecto:

1. El color del primer calcetín no importa realmente, en cualquier caso, quedan 19 calcetines del mismo color en el cajón y 39 en total. Así que la respuesta es $\frac{19}{39}$ .

2. Tenemos dos casos: el primer calcetín era negro o era blanco. La probabilidad de coger el calcetín blanco después del blanco es igual a la probabilidad de coger el calcetín negro después del negro y es igual a $\frac{19}{39}$ . La probabilidad de que el primer calcetín sea negro es la misma que la de que sea blanco y es de 0,5. En el caso general podemos aplicar la Ley de la Probabilidad Total: $$\begin{equation} \frac{19}{39} * 0.5 + \frac{19}{39} * 0.5 = \frac{19}{39} \end{equation}$$

¿Tiene sentido este razonamiento?

Answer 1

Ambos razonamientos son correctos. Consideremos el caso en el que todas las bolas calcetines $s_1,\dots, s_{40}$ son de diferentes colores. En primer lugar, la probabilidad de seleccionar un calcetín de un color determinado es $\frac{1}{40}$ . En segundo lugar, la probabilidad de seleccionar un calcetín de un color determinado entre el resto de los 39 calcetines es $\frac{1}{39}$ .

Ahora aplica el principio de conteo. Ya que en $s_1,\dots, s_{40}$ hay 20 del mismo color (negro), la probabilidad del primer evento es $20 \times \frac{1}{40}=\frac{1}{2}$ . Por lo tanto, la probabilidad de obtener un calcetín negro en el primer evento es $\frac{1}{2}$ De la misma manera, la probabilidad de obtener un calcetín blanco en el primer evento es $\frac{1}{2}$ .

Para el segundo evento, tienes dos casos, o el calcetín en el primer evento es negro o blanco. Por tanto, la probabilidad es $2\times\frac{1}{2}\times \frac{19}{40}=\frac{19}{40}$ . La única diferencia es que tu primera respuesta no utiliza el principio de conteo mientras que la segunda sí lo hace.

Answer 2

Denotemos por $B_{k}$ el caso de que "se haya elegido un calcetín negro en el $k$ -a la selección". Lo mismo se aplica a $W_{k}$ . Por lo tanto, estamos interesados en el evento $(B_{1}\cap B_{2})\cup(W_{1}\cap W_{2})$ , donde $B_{1}\cap B_{2}$ y $W_{1}\cap W_{2}$ son disjuntos. Por lo tanto, tenemos $$\begin{align*} \textbf{P}((B_{1}\cap B_{2})\cup(W_{1}\cap W_{2})) & = \textbf{P}(B_{1}\cap B_{2}) + \textbf{P}(W_{1}\cap W_{2})\\ & = \textbf{P}(B_{2}|B_{1})\textbf{P}(B_{1}) + \textbf{P}(W_{2}|W_{1})\textbf{P}(W_{1})\\ & = \frac{C(19,1)}{C(39,1)}\times\frac{C(20,1)}{C(40,1)} + \frac{C(19,1)}{C(39,1)}\times\frac{C(20,1)}{C(40,1)}\\ & = \frac{19}{39}\times\frac{1}{2} + \frac{19}{39}\times\frac{1}{2} = \frac{19}{39} \end{align*}$$

Esta es una forma más "sistemática" de describir el problema. Espero que esto ayude.