Dejemos que $A$ y $B$ dos matrices simétricas positivas definidas sobre $\mathbb{R}$ . Entonces decimos que $A$ y $B$ son integralmente equivalentes si existe $Q\in GL_n(\mathbb{Z})$ tal que
$A=Q.B.Q^t$ (1)
Mi pregunta es: ¿existe una caracterización de tales clases de equivalencia?
En otras palabras, si conozco las matrices $A$ y $B$ ¿cómo puedo ver si estas matrices están relacionadas por la ecuación (1)?
Creo que probablemente se puede decidir esto sin lágrimas, pero sólo porque sus matrices son definidas positivas. Observe que, si $x$ es un vector de filas de enteros, $$ x A x^T = x Q B Q^T x^T = y B y^T, $$ donde tomamos $y = x Q.$ Así, sus dos matrices tienen los mismos determinantes, pero también tienen la misma $\mathbb Z$ -mínimo. De hecho, creo que tienen los mismos "mínimos sucesivos", y no me sorprendería que eso fuera suficiente también. En cualquier caso, debería obtener Gruber y Lekkerkerker . Obsérvese que el énfasis se cambia de la matriz $A$ al conjunto compacto con interior no vacío, $$ x A x^T \leq 1. $$
Ahora bien, ¿por qué es posible encontrar el $\mathbb Z$ -mínimo, que es algún número real peculiar en su entorno? Comience con $ m $ siendo la entrada diagonal más pequeña de $A.$ El conjunto de vectores enteros $x$ con $ x A x^T \leq m$ está acotado por consideraciones de valores propios (en realidad hago una pequeña cosa con multiplicadores de Lagrange para obtener un límite separado para cada coordenada $x_i.$ ) Esto da una caja cúbica o rectangular, dependiendo de cómo se haga, lo que lleva a un conjunto finito de vectores enteros. Así que encontrar el $\mathbb Z$ -mínimo es una comprobación finita.
He visto este problema con infinidad de detalles sólo para las formas binarias indefinidas, véase Cusick y Flahive
Muy bien, estoy recordando cosas. La reducción de Minkowski no es definitiva ni siquiera para las formas cuadráticas integrales para dimensiones al menos tres. Es bastante buena en las dimensiones 3,4. Alexander Schiemman hizo una mejora de la reducción de Eisenstein en dimensión 3, y la escribió permitiendo entradas reales, Mathematische Annalen, volumen 308 (1997) páginas 507-517, Las formas cuadráticas ternarias definidas positivas están determinadas por su serie Theta .
EDIT, 3:52 pm Pacífico: Algunos de los temas favoritos de Schiemann dan la visión más simple de esto. Por definición, puedes hacer dos listas de valores representados hasta algún límite, donde "representado" significa por un vector integral $x$ como en el caso anterior. Aunque se trata de números reales, permítanme seguir llamando a cada lista "serie theta", porque podemos contar el número de veces que se representa cada número real. Ahora bien, es necesario que las dos matrices tengan la misma "serie theta" para ser $\mathbb Z$ -equivalente. Sin embargo, si la dimensión es 4 o mayor, esto no es suficiente. Los ejemplos originales de desacuerdo (misma serie theta pero no equivalente) fueron de Witt, dimensión 16, utilizados posteriormente por Milnor. El tema general se encuentra vagamente bajo el título "¿Puedes oír la forma de un tambor?". De todos modos, hubo avances en la reducción de la dimensión, especialmente por parte de Kneser y luego de Kitaoka. Finalmente, Schiemann encontró un par de cuatro dimensiones, Arch. Math. 54 (1990) páginas 372-375. Conway pudo incluir una versión en su libro La forma cuadrática sensual. Una descripción menos Conway, incluyendo sólo los coeficientes, en Formas cuadráticas cuaternarias por Gordon L. Nipp. Ahí vamos, página 1 y luego otra vez en la página 110, en el género 4: las dos últimas formas con mínimo 2, después de las cuales hay tres formas con mínimo 3 y ese es el final de ese género y de ese discriminante.
Lo último que he oído es decidir la equivalencia entre dos formas cuadráticas positivas-definidas de orden $n$ es factible para un determinado $n$ pero los algoritmos conocidos implican constantes que explotan con $n$ y se espera que el problema sea computacionalmente intratable para grandes $n$ . También lo es encontrar la norma mínima no nula (y por tanto a fortiori todos los mínimos sucesivos). Por lo tanto, no se espera ninguna caracterización computacionalmente factible para la equivalencia integral, aunque hay algunas condiciones necesarias fáciles de comprobar, y en la práctica se puede (¿normalmente?) manejar $n$ hasta al menos $24$ más o menos.
Aparte de la serie theta habitual que cuenta los vectores de norma dada, existen también las series de grado $k, 1 \le k \le n$ serie theta que cuenta el número de $k$ sublattices dimensionales de un volumen determinado. Siempre me he preguntado si existen formas cuadráticas integrales positivas-definidas no equivalentes con el mismo grado $k$ serie theta para $k$ hasta $n$ ? Por ejemplo, ¿el ejemplo 4d de Schiemann tiene la misma serie theta de Siegel 2,3,4?
Ciertamente, ¡dos redes 4D diferentes no pueden tener la misma serie theta de Siegel-4! (Siegel $k$ cuenta con subredes de rango hasta $k$ por clase de isomorfismo, no sólo por volumen). Me han dicho que los dos entramados unimodulares de rango $16$ tienen el mismo $\Theta_k$ no sólo para $k=1$ sino también para $k=2$ y $k=3$ pero no para $k=4$ donde la diferencia es la forma modular que desaparece en el lugar Jacobiano.
La respuesta a su pregunta se encuentra en G.F. Voronoi (1908). "Nuevas aplicaciones de los parámetros continuos a la teoría de las formas cuadráticas". Journal für die reine und angewandte Mathematik 134: 198-287.
En esta maravillosa obra, Voronoi explica cómo identificar un dominio fundamental para la acción de $\mathrm{GL}_n(\mathbf Z)$ en el espacio de las formas cuadráticas definidas positivas. Todo lo que puedo decir es que vale la pena leerlo (una referencia más contemporánea es Martinet : Perfect latticess in Euclidean spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (Libro 327), 2003, que también es una excelente referencia).
Pero como escribió Noam Elkies más arriba, este método no se puede utilizar en dimensiones altas (por ahora, se ha hecho en dim. <=8).
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