mapa no expansivo y el diámetro del subconjunto de la imagen y el complemento de la imagen

Question

Consideremos un espacio métrico $M=(X,d)$ y un mapa $f:X\to X$ tal que para todo $x,y\in X$ , $$ d(f(x),f(y))\leq d(x,y). $$

¿Es cierta la siguiente afirmación (tal vez para un $M$ o incluso compacto $M$ ?)?

Por cada $Y\subseteq X$ tenemos $$ \text{diam}((X\setminus f(X))\cup f(Y))\geq \text{diam}(Y). $$

En particular, estoy buscando el caso en que el $M$ es un árbol finito (complejo 1 simplificado simplemente conectado).

Answer 1

Esto es falso para $M={\mathbb N}$ (con la métrica estándar) y $S=\{1,2\}$ , $f(S)=\{1\}$ , $f(M)=M$ , donde $f$ es una traducción cuando se restringe a $[2,\infty)$ . No sé sobre el caso compacto.

Answer 2

Nian Si mostró un contraejemplo que pondré aquí.

Considere $3$ puntos $\{0,1,2\}\subset \mathbb{R}$ que forma un espacio métrico.

Considere el mapeo $f(0)=1, f(1)=0$ y $f(2)=1$ y $Y=\{0,2\}$ . $\text{diam}(Y)=2$ .

$X\setminus f(X) = \{2\}$ , $f(Y)=\{1\}$ . Así que $\text{diam}((X\setminus f(X))\cup f(Y))=1$ .