Si a y B son parcialmente ordenados, de tal manera que no se inyectiva el fin de la preservación de los mapas de a a B y de B a a, es no necesariamente un orden de preservación de la bijection entre a y B ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Uno no tiene que ir a parcialmente ordenado establece para un contraejemplo. Lineal órdenes son suficientes: Considerar los racionales en el intervalo abierto $(0,1)$ y los racionales en el intervalo cerrado $[0,1]$.
Los dos obviamente incrustar en una de otra, pero no son isomorfos, debido a la mínima y/o máxima de consideraciones.
Mi ejemplo muestra que los lineales de los pedidos no tienen necesidad de esta propiedad; y Brian ejemplo muestra que bien fundado parcialmente ordenado de conjuntos no tienen necesidad de esta propiedad.
Sin embargo, si tenemos en cuenta la intersección, fundada lineal órdenes (es decir, muy órdenes), a continuación, de hecho, esto es cierto. Es decir, si $(A,<)$ $(B,\prec)$ son dos conjuntos ordenados y $(A,<)$ incrusta en $(B,\prec)$, y viceversa, entonces existe un isomorfismo.
DiGi
Puntos
1925
No. Deje $P$ ser distinto de la unión de las cadenas de cada longitud impar, y deje $Q$ ser distinto de la unión de las cadenas de cada positivos longitud. Claramente cada uno de ellos puede ser incrustado en el otro, pero los dos no son isomorfos.
Más formalmente, vamos $$P=\{\langle 2n+1,k\rangle:n\in\Bbb N\text{ and }1\le k\le 2n+1\}$$ and $$Q=\{\langle 2n,k\rangle:n\in\Bbb Z^+\text{ and }1\le k\le 2n\}\;,$$
cada uno de los ordenados por la relación $\langle m,k\rangle\preceq\langle n,\ell\rangle$ fib $m=n$$k\le\ell$. El mapa $$f:P\to Q:\langle 2n+1,k\rangle\mapsto\langle 2n+2,k\rangle$$ embeds $P$ into $Q$, and the map $$g:Q\to P:\langle 2n,k\rangle\mapsto\langle 2n+1,k\rangle$$ embeds $Q$ into $P$, but $\langle P,\preceq\rangle$ and $\langle Q,\preceq\rangle$ claramente no son isomorfos, ya que contienen la máxima cadenas de diferentes longitudes.
Esto demuestra que no hay tal resultado bien fundada parcial de las órdenes.
Jeff
Puntos
804
Una de las necesidades de los supuestos adicionales:
Si $f : A \to B$ es una orden de incorporación de parcial de las órdenes con la propiedad de que ningún elemento de $f(A)$ es comparable con un elemento de $B \setminus f(A)$, e $g : B \to A$ es un mapa con las mismas propiedades, a continuación, $A$ $B$ son isomorfos. La prueba usual de Schröder-Bernstein pasa a través de.
Es esta una nueva observación? Probablemente no. Las eventuales referencias que se agradece!
