Representación fiel de la permutación

Question

Perdonen si mi pregunta es trivial. Estoy tratando de usar magma para construir representaciones fieles de permutación de un cierto grupo usando la acción de grupo que permite que el grupo G actúe por la multiplicación de la izquierda en algunos subgrupos libres de núcleo. He utilizado el siguiente código que me da con éxito la representación de permutación fiel con respecto a (un subgrupo H).

f, L := CosetAction(G, H);
f;

Mi pregunta: ¿existe un código que me construya una representación de permutación fiel de un grupo con respecto a dos subgrupos dados tal que el núcleo de la intersección de los dos subgrupos que doy sea trivial?

Su ayuda con esto es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

En GAP (que también está etiquetado) hay dos posibilidades. Se podría actuar sobre los cosets de ambos subgrupos, o se podrían combinar las dos acciones a un producto subdirecto.

Como ejemplo, tomemos las acciones de $S_4$ en los cosets de $S_3$ y de $V_4$ :

gap> G:=SymmetricGroup(4);;
gap> H1:=SymmetricGroup(3);;H2:=Socle(G);;StructureDescription(H2);
"C2 x C2"

En el primer ejemplo simplemente concatenamos las listas de costes como dominio, y actuamos sobre ellas mediante la multiplicación por la derecha (GAP siempre actúa por la derecha y utiliza cosets derechos):

gap> cos:=Concatenation(RightCosets(G,H1),RightCosets(G,H2));
[ RightCoset(Sym( [ 1 .. 3 ] ),()), RightCoset(Sym( [ 1 .. 3 ] ),(1,4)),
  RightCoset(Sym( [ 1 .. 3 ] ),(1,4,2)), RightCoset(Sym( [ 1 .. 3 ] ),(1,4,
   3)), RightCoset(Group([ (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) ]),()), RightCoset(Group(
   [ (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) ]),(3,4)), RightCoset(Group(
   [ (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) ]),(2,3)), RightCoset(Group(
   [ (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) ]),(2,3,4)), RightCoset(Group(
   [ (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) ]),(2,4,3)), RightCoset(Group(
   [ (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) ]),(2,4)) ]
gap> act:=ActionHomomorphism(G,cos,OnRight,"surjective");
<action epimorphism>
gap> p:=Image(act);
Group([ (1,2,3,4)(5,10)(6,9)(7,8), (2,3)(5,6)(7,9)(8,10) ])
gap> Orbits(p,MovedPoints(p));
[ [ 1, 2, 3, 4 ], [ 5, 10, 6, 8, 9, 7 ] ]

En la versión de la sección, construimos las dos acciones de permutación por separado:

gap> p1:=Image(FactorCosetAction(G,H1));
Group([ (1,2,3,4), (2,3) ])
gap> p2:=Image(FactorCosetAction(G,H2));
Group([ (1,6)(2,5)(3,4), (1,2)(3,5)(4,6) ])

Ahora, podemos combinar las listas de generadores en dominios disjuntos:

gap> diag:=SubdirectDiagonalPerms(GeneratorsOfGroup(p1),GeneratorsOfGroup(p2));
[ (1,2,3,4)(5,10)(6,9)(7,8), (2,3)(5,6)(7,9)(8,10) ]
gap> p:=Group(diag);
Group([ (1,2,3,4)(5,10)(6,9)(7,8), (2,3)(5,6)(7,9)(8,10) ])

Si se quiere mantener mejor la conexión, se podrían utilizar las incrustaciones formales en un producto directo:

gap> d:=DirectProduct(p1,p2);
Group([ (1,2,3,4), (2,3), (5,10)(6,9)(7,8), (5,6)(7,9)(8,10) ])
gap> emb1:=Embedding(d,1);;emb2:=Embedding(d,2);;
gap> gens1:=GeneratorsOfGroup(p1);;gap> diag:=List([1..Length(gens1)],x->Image(emb1,gens1[x])
> *Image(emb2,gens2[x]));
[ (1,2,3,4)(5,10)(6,9)(7,8), (2,3)(5,6)(7,9)(8,10) ]
gap> gens2:=GeneratorsOfGroup(p2);;
gap> diag:=List([1..Length(gens1)],x->Image(emb1,gens1[x])
> *Image(emb2,gens2[x]));
[ (1,2,3,4)(5,10)(6,9)(7,8), (2,3)(5,6)(7,9)(8,10) ]

Answer 2

He aquí cómo hacerlo en Magma, utilizando el ejemplo de Alexander con una incrustación en un producto directo.

> G := Sym(4);
> H1 := Stabilizer(G,1); H2 := Socle(G);
> a1, P1 := CosetAction(G,H1);
> a2, P2 := CosetAction(G,H2);
> D, inj := DirectProduct(P1,P2);
> act := hom< G->D | x :-> inj[1](a1(x)) * inj[2](a2(x)) >;
> P := Image(act);