¿Son los números de Li condicionalmente o absolutamente convergentes?

Question

Los números de Li, $\lambda_n$ se definen por

$\lambda_n = \sum_{\rho} \Big( 1- \Big(1-1/\rho\Big)^n\Big) $

donde $n$ es real y $\rho$ recorre todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, y siempre están emparejados con $1-\rho$ .

Mi pregunta es: ¿son los $\lambda_n$ ¿es absoluta o condicionalmente convergente? El artículo pertinente de Wikipedia dice que son condicionalmente convergentes, mientras que un artículo de Mark Coffey ''On certain sums over the nontrivial zeros, (page 2, line 1)'' afirma que los números de Li son absolutamente convergentes para $n>1$ ? Además, en el artículo de Bombieri y Lagarias, ''Complementos al criterio de Li y la Hipótesis de Riemann, (página 2, lema 1)'', se menciona que $\Re(\lambda_n)$ converge absolutamente para todo número entero.

¿Hay alguna contradicción entre el artículo de Wikipedia y los artículos de Coffey, Bombieri y Lagarias (especialmente el de Coffey)?

Answer 1

• La densidad de ceros es $\displaystyle N(T) = \sum_{0 < Im(\rho) < T} 1 \ \ \sim \ \frac{T \ln T}{2\pi}$

  (el $\text{arg} \left[\frac{1}{2}s (s-1) \pi^{-s/2} \Gamma(s/2)\right]_{s = 1/2+IT}$ término en la integral de contorno )

  por lo que $Im(\rho_k) \sim 2 \pi \frac{k}{\ln k}$ y $\rho_k \sim 2 i \pi \frac{k}{\ln k}$ .

• Como $x\to 0$ : $(1-x)^n = 1-nx+ \mathcal{O}(x^2)$ para que

  $$\sum_{k=1}^\infty \left(1-\left(1-\frac{1}{\rho_k}\right)^n\right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{n}{\rho_k}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{|\rho_k|^2}\right) = \frac{ n}{2i\pi}\sum_{k=1}^\infty \frac{\ln k}{k}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{k^2}\right)$$ $\implies$ no converge

• pero $(1-x)^n+(1-\overline{x})^n = 2-2n Re(x)+ \mathcal{O}(x^2)$ para que $$\sum_{k=1}^\infty \left|1-\left(1-\frac{1}{\rho_k}\right)^n+1-\overline{\left(1-\frac{1}{\rho_k}\right)^n}\right| = \sum_{k=1}^\infty \left| 2n Re\left(\frac{1}{\rho_k}\right)\right|+\mathcal{O}\left(\frac{1}{|\rho_k|^2}\right)$$ $$= \sum_{k=1}^\infty \left| 2n Re\left(\frac{\sigma_k-i2\pi\frac{k}{\ln k}}{\sigma_k^2+4\pi^2\frac{k^2}{\ln^2 k}}\right)\right|+\mathcal{O}\left(\frac{1}{k^2}\right) = \frac{n}{4\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{\ln^2 k}{k^2}+\mathcal{O}(1)$$ esta vez converge absolutamente, agrupando $\rho$ con su complejo conjugado $\overline{\rho}$

(por eso Bombieri exige que $\sum_\rho \frac{1+\left|\operatorname{Re}(\rho)\right|}{(1+|\rho|)^2} $ converge para aplicar el criterio de Li)