¿Existen dos matrices no singulares que permitan resolver este sistema lineal?

Question

(He publicado esta pregunta en MathOverflow y fue enviada aquí. Esta es una copia de ese envío)

Estoy tratando de resolver un sistema de ecuaciones lineales. En este sistema tengo dos sistemas separados que implican un vector de tensión desconocido $\overrightarrow{T}$ en $\mathbb{R}^n$ , que quiero cancelar en ambas ecuaciones haciéndolas iguales. En cada sistema, $\overrightarrow{T}$ se multiplica por $n \times n$ matrices $C_{SU}$ y $S_{SU}$ , definida de la siguiente manera:

$$ C_{SU} = \begin{bmatrix} c_1 & -c_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c_2 & -c_3 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_n \end{bmatrix} $$

Dónde $c_k = \cos{\theta_k}$ . $S_{SU}$ se define de forma similar, sustituyendo $\cos$ con $\sin$ .

Así que para resumir, tengo dos sistemas lineales de la siguiente forma:

$$ \overrightarrow{R_1} = C_{SU}\overrightarrow{T}\\ \overrightarrow{R_2} = S_{SU}\overrightarrow{T} $$

Dónde $\overrightarrow{R_1}$ y $\overrightarrow{R_2}$ son algunos vectores en $\mathbb{R}^n$ . Quiero cancelar $\overrightarrow{T}$ de la ecuación haciendo que ambos lados de la izquierda sean iguales. Para ello, pretendo multiplicar $C_{SU}$ y $S_{SU}$ por algunas matrices $A$ y $B$ tal que $A \cdot C_{SU} = B \cdot S_{SU}$ . $A$ y $B$ debe ser $n \times n$ matrices invertibles.

Haga $A$ y $B$ existen, y si es así, ¿cuáles son?

Answer 1

Así que, si he entendido bien su simbolismo, estamos tratando con matrices del tipo $$ \begin{gathered} \mathbf{C}\left( \mathbf{x} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } & { - x_2 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {x_2 } & { - x_3 } & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & {x_3 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & {x_n } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & { - 1} & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {x_2 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & {x_3 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & {x_n } \\ \end{array} } \right] = \hfill \\ = \left( {\mathbf{I} - \mathbf{E}} \right)\;\mathbf{D}\left( \mathbf{x} \right) \hfill \\ \end{gathered} $$

donde: $\mathbf{I}$ es la matriz de identidad, $\mathbf{E}$ es la matriz con elementos $=1$ en la primera diagonal superior y el resto nulo, y $\mathbf{D}\left( \mathbf{x} \right)$ es la matriz diagonal con entradas $\left( {x_1 ,\; \ldots ,\;x_n } \right)$ .

Ahora bien, es bien sabido, y es fácilmente demostrable, que $$ \left( {\mathbf{I} - \mathbf{E}} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} = \mathbf{S} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{array} } \right] $$ y por supuesto: $$ \mathbf{D}\left( \mathbf{x} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {1/x_1 } & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {1/x_2 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & {1/x_3 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & {1/x_n } \\ \end{array} } \right] $$

En cuanto a los determinantes $$ \begin{gathered} \left| {\left( {\mathbf{I} - \mathbf{E}} \right)} \right| = \left| \mathbf{S} \right| = \;1 \hfill \\ \left| {\mathbf{D}\left( \mathbf{x} \right)} \right| = \prod\limits_{1\, \leqslant \,k\, \leqslant \,n} {x_{\,k} } = \frac{1} {{\left| {\mathbf{D}\left( \mathbf{x} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} } \right|}} \hfill \\ \end{gathered} $$ Así que la matriz $ \mathbf{C}\left( \mathbf{x} \right) $ es invertible si ninguno de los $x_k$ es nulo: $$ \mathbf{C}\left( \mathbf{x} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} = \mathbf{D}\left( \mathbf{x} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} \;\mathbf{S} $$ Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es $$ \begin{gathered} \mathbf{A} = \mathbf{C}\left( \mathbf{c} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} = \mathbf{D}\left( \mathbf{c} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} \;\mathbf{S}\quad \left| {\;\cos \theta _k \ne 0} \right. \hfill \\ \mathbf{B} = \mathbf{C}\left( \mathbf{s} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} = \mathbf{D}\left( \mathbf{s} \right)^{\, - \,\mathbf{1}} \;\mathbf{S}\quad \left| {\;\sin \theta _k \ne 0} \right. \hfill \\ \end{gathered} $$