¿Por qué se atribuye a Schwarz la demostración de "Cauchy-Schwarz para integrales"? Hay una demostración fácil de Cauchy-Schwarz que se basa sólo en $\langle \cdot, \cdot \rangle$ siendo un producto interno, definido o no en términos de integrales. Y demostrar que $$(f,g) \mapsto \int_X f(x)\overline{g(x)}\,d\mu(x)$$ es un producto interno tampoco es difícil. ¿Por qué molestarse en mirar la prueba de Schwarz, ya sea ahora o en la época en que se publicó?
Respuesta
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Un producto interno no fue definido hasta ~1905 por Hilbert. La ortogonalidad de las funciones trigonométricas en la expansión de Fourier se descubrió experimentalmente a finales de 1700, y Fourier se basó en este trabajo con expansiones de funciones ortogonales más generales. Cauchy no presentó su desigualdad para el espacio euclidiano complejo hasta la década de 1820 (creo que es correcto). Y no se estableció ninguna conexión entre la ortogonalidad de las funciones con respecto a una integral y el producto punto euclidiano hasta la segunda mitad de la década de 1800. Parte de la razón de esta desconexión puede haber sido que no había un camino natural desde la suma a la integral porque la integral de Riemann no se definió hasta varias décadas después.
En 1859 apareció en una revista una nota de Bunyakowsky en la que decía que el caso discreto podía generalizarse a las integrales, pero se ignoró porque no se daban aplicaciones. No fue hasta la década siguiente que Schwarz publicó un artículo sobre superficies mínimas en el que se redescubrió la desigualdad de Schwarz para la integral y se utilizó para medir algo parecido a una distancia con el fin de llegar a una solución para las EDP. Pero, incluso entonces, no se advirtió que existiera un concepto general de "norma" o "función de distancia". Cantor comenzó a desarrollar axiomas de conjuntos para los fundamentos de las Matemáticas más o menos en esa época, y a principios del siglo XX, la gente empezó a pensar en "espacios" abstractos en los que un punto podía ser un objeto como una función. Y eso es lo que condujo a la definición de Hilbert de un espacio de producto interno general, y a gran parte de las matemáticas modernas. La versión actual de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se demostró en este contexto.
Así pues, la desigualdad de Schwarz para integrales surgió unas décadas antes de la definición de producto interior. Y la desigualdad de Cauchy para el caso discreto llegó unos 80 años antes. Creo que fue Hilbert quien etiquetó la desigualdad general del producto interior como Cauchy-Schwarz debido al trabajo de estos dos matemáticos.
