¿Cómo averiguar la ecuación cuyas raíces son trigonométricas?

Question

Averigua la ecuación cuyas raíces son $\sin^2 (2\pi/7), \sin^2 (4\pi/7), \sin^2 (8\pi/7)$ . Quería resolverlo encontrando primero la ecuación, cuyas raíces son $\sin 2\pi/7,\sin 4\pi/7, \sin 8\pi/7$ Entonces encontraría la ecuación deseada en la ecuación utilizando $Y = x^2$ o, $X = Y^1/2$ ; $X$ es la raíz de la 2ª ecuación, es decir $\sin 2\pi/7\ldots$ & $Y$ es la raíz de la primera ecuación. Ahora pondría el valor de $X$ en la 2ª ecuación, es decir $Y^1/2$ & obtendrá la ecuación requerida. Pero no sé cómo encontrar una ecuación cuyas raíces son trigonométricas. Por favor, ayuda.

Answer 1

Como

factor $z^7-1$ en factores lineales y cuadráticos y demostrar que $ \cos(\pi/7) \cdot\cos(2\pi/7) \cdot\cos(3\pi/7)=1/8$

o

Demostrar que $\frac{1}{4-\sec^{2}(2\pi/7)} + \frac{1}{4-\sec^{2}(4\pi/7)} + \frac{1}{4-\sec^{2}(6\pi/7)} = 1$

$\displaystyle z^3+z^2-3z-1=0\ \ \ \ (1),$ tiene las raíces $\displaystyle 2\cos\frac{2\pi}7, 2\cos\frac{4\pi}7, 2\cos\frac{6\pi}7$

Ahora usando $\displaystyle\cos2A=2-\sin^2A\iff\sin^2A=\frac{1-\cos2A}2,$

$\displaystyle\sin^2\frac{8\pi}7=\dfrac{1-\cos\frac{16\pi}7}2$ y de nuevo $\displaystyle\cos\frac{16\pi}7=\cos\left(2\pi+\frac{2\pi}7\right)=\cos\frac{2\pi}7$ etc.

¿Puedes llevarlo a casa desde aquí?

Véase también: Demostrar que $\cot^2{(\pi/7)} + \cot^2{(2\pi/7)} + \cot^2{(3\pi/7)} = 5$

Answer 2

Quieres decir que $(x - \sin^2(2 \pi/7))(x - \sin^2(4 \pi/7))(x - \sin^2(8\pi/7)) = 0$ ?