Esto es Ejercicio 3.1 de la de Roman, "Fundamentos de la teoría de grupos: Un Enfoque Avanzado".
Los detalles:
Definición: Llamamos a un grupo $G$ sin centro si $Z(G)=\{e\}$ , donde $Z(G)=\{g\in G\mid \forall h\in G, gh=hg\}$ es el centro de $G$ .
La pregunta:
Dejemos que $H\unlhd G$ para un grupo $G$ . Si $H$ y $G/H$ no tienen centro, entonces $G$ es sin centro.
Pensamientos:
He mirado el contrapositivo, que dice que si $G$ no es sin centro, entonces $G/H$ no es sin centro o $H$ no es sin centro. En otras palabras: si $Z(G)$ no es trivial, entonces si $Z(G/H)$ es trivial, entonces $Z(H)$ no es trivial.
Supongamos que hay algún $e\neq g\in Z(G)$ y supongamos $Z(G/H)=\{e_{G/H}\}=\{H\}$ . Mi objetivo es mostrar $Z(H)$ no es trivial.
Si $g\in H$ Entonces, como $g$ se desplaza con todos los $G$ que contiene $H$ podemos concluir que $g\in Z(H)$ .
Supongamos que $g\notin H$ . Sabemos que $gH=Hg=H$ desde $H\unlhd G$ y $Z(G/H)=\{e_{G/H}\}=\{H\}$ . Así, $g\in H$ una contradicción.
Creo que esto no es del todo correcto. El último párrafo parece un poco sospechoso.
Esto no es una solución-verificación post, por lo que los enfoques alternativos son bienvenidos.
Por favor, ayuda :)
