Computar $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arctan x - \sin x}{x}\, dx $ con un error inferior a $10^{-2}$

Question

He utilizado las expansiones de Taylor de las funciones arctan y sin y el hecho de que las series de potencias convergen uniformemente en $[0,1/2]$ por lo que obtuve:

$$\sum \biggl(\frac{1}{(2n+1)!}-{\frac{1}{2n+1}}\biggr) \frac{1}{(2n+1)2^{n+1}}$$

¿Cómo puedo calcularlo?

Answer 1

Uso de las expansiones de Taylor $$\frac{\tan ^{-1}(x)-\sin (x)}{x}=\sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^p ((2p)!-1)}{(2 p+1) (2p)!}x^{2p}$$ $$I=\int_0^{\frac 12}\frac{\tan ^{-1}(x)-\sin (x)}{x}\,dx=\sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^p ((2p)!-1)}{2^{2 p+1}(2 p+1) (2p+1)!}$$ que se puede reescribir como $$I=\sum_{p=1}^n \frac{(-1)^p ((2p)!-1)}{2^{2 p+1}(2 p+1) (2p+1)!}+\sum_{p=n+1}^\infty \frac{(-1)^p ((2p)!-1)}{2^{2 p+1}(2 p+1) (2p+1)!}$$

Se trata de una serie alternada, por lo que se busca $n$ tal que $$\frac{ (2 n+2)!-1}{2^{2 n+3} (2 n+3)^2 (2 n+2)!} \lt \epsilon$$ Dejemos de lado la $1$ en el numerador y esto se reduce a $$\frac{1}{2^{2 n+3}(2 n+3)^2}\lt \epsilon\implies {2^{2 n+3}(2 n+3)^2}\gt \frac 1\epsilon$$

La secuencia definida por $a_n=2^{2 n+3}(2 n+3)^2$ es (fácil de calcular con su teléfono) $$\{72,800,6272,41472,247808,1384448,7372800\}$$ Por lo tanto, un plazo no es suficiente; ¿qué tal dos plazos?

Si no me equivoco, esto daría $-\frac{331}{57600}\approx -0.005747$ mientras que la integración numérica daría $-0.005885$