Probar la existencia de una función continua creciente.

Question

Dejemos que $\left( {X,\mathcal{A},\,\mu } \right)$ sea un espacio de medidas finitas y suponga $f$ es una función medible no negativa que es finita en cada punto de $X$ pero no necesariamente intergrables. Demostrar que existe una función continua creciente $g:\left[ {0,\infty } \right) \to \left[ {0,\infty } \right)$ tal que $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right) = \infty $ y $g \circ f$ es integrable.

No tengo ni idea de cómo proceder con esto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

El resultado para $\mathrm{ess}\sup f(X)<\infty$ es trivial, por lo que suponemos que $\mathrm{ess}\sup f(X)=\infty$ . Desde su $\mu$ es finito, puedes simplemente dividir tu $X$ en $X=\cup A_i$ , $A_i=\{x\in X:k_i\leq f(x)< k_{i+1}\}$ , de tal manera que $\mu(A_i)>3\mu(A_{i+1})>0$ para todos $i\in\mathbb{N}$ . Ahora defina primero $\hat{g}(y)=\frac{1}{2^i\mu(A_i)}$ para $y\in [k_i,k_{i+1})$ . Entonces $\hat{g}$ es creciente, ya que $\frac{1}{2^i\mu(A_i)}<\frac{1}{2^{i+1}\mu(A_{i+1})}$ por la condición anterior. En particular, $\frac{1}{2^i\mu(A_i)}>\frac{3^{i-1}}{2^i\mu(A_1)}\rightarrow\infty$ como $i\rightarrow\infty$ Así que $\hat{g}\rightarrow\infty$ . También sabemos que $\int \hat{g}\circ fd\mu=\sum\frac{1}{2^i}<\infty$ . Ahora bien, para conseguir una continuidad $g$ , puedes simplemente combinar tu función de paso $\hat{g}$ cerca de todo punto de no continuidad por una línea que no cambia la integral. Entonces la $g$ es lo que se busca.

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Todavía hay un pequeño error en el paso 2, ya que no puedo controlar la distribución los valores de $f$ por lo que un cambio por una línea también dará un cambio a la integral. Para solucionar esto, podemos utilizar el teorema de convergencia dominante: para el intervalo $[k_1,k_3]$ , dejemos que $g_n$ sea la función continua que se combina con una línea cerca de la discontinuidad de $[k_1,k_3]$ y la línea que converge a la línea que es penparticular a la discontinuidad. Entonces $\int_{A_1\cup A_2}g_n\circ f$ debería converger a $\int_{A_1\cup A_2}\hat{g}\circ f$ debido al teorema de convergencia dominante. Encontramos un $n$ de tal manera que la brecha es $\frac{1}{2}$ . Entonces hazlo por el $i$ -a la discontinuidad con una brecha $(\frac{1}{2})^i$ . Al final, la función modificada es la que buscamos $g$ .