Duda con la deducción de la ley de los senos

Question

Estaba leyendo en un libro la deducción de la ley del seno. El libro utiliza una imagen similar a esta:

Los pasos para llegar la ley del seno son:

$ \sin \alpha = \frac{z}{c} $

$ \sin \beta = \frac{y}{c} $

Entonces como c es igual en ambas ecuaciones:

$ \frac{z}{\sin \alpha } = \frac{y}{\sin \beta } $

Entonces podemos ver en la imagen:

$ \sin( \pi - \gamma) = \frac{z}{a} $
$ \sin( \pi - \gamma) = \frac{y}{b} $

Como $z/a = y/b$ si multiplicamos por $a/z$ la parte izquierda de la ecuación de 2º, y por $b/y$ la parte correcta a la que llegamos:

$ \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin \beta} $

La cuestión es cómo llegar a:

$ \frac{a}{\sin \alpha } = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma } $

El libro dice que podemos llegar usando el par de ángulos alfa/gama o beta/gama pero no sé cómo hacerlo.
Finalmente otra pregunta relacionada, por qué en la imagen: $ \cos( \pi - \gamma) = -\cos \gamma $

Gracias por leer.

Answer 1

Por simetría. Se puede hacer el mismo baile con, por ejemplo $a$ con $\alpha$ y $c$ con $\gamma$ para deducir la igualdad que falta.

Answer 2

Para responder a la pregunta relacionada:

También podemos utilizar la fórmula del coseno de una diferencia $$ \begin{align} \cos(\pi-\gamma) &=\overbrace{\cos(\pi)}^{-1}\cos(\gamma)+\overbrace{\sin(\pi)}^0\sin(\gamma)\\ &=-\cos(\gamma) \end{align} $$