Convertir la temperatura en velocidad/energía cinética

Question

Si la temperatura de un objeto es simplemente una medida de la energía cinética media de las moléculas que lo componen, ¿es posible convertir la temperatura de un objeto, dado su volumen, en un valor de la velocidad media de movimiento de cada molécula o de la energía cinética media de cada molécula?

Entiendo que puedo estar ladrando al árbol equivocado aquí, pero estoy estudiando física de nivel A y sólo tengo un poco de curiosidad.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, más o menos. No necesitas el volumen del objeto, porque la temperatura es lo que se llama una cantidad intensiva: no importa la cantidad de "cosas" que haya. Lo que necesitas saber es con qué tipo de moléculas estás tratando. Según el teoría de la equiparación m cada grado de libertad obtiene $\frac{1}{2} k_B T$ energía, donde $k_B$ es la constante de Boltzmann y $T$ se mide en kelvins. Un "grado de libertad" es una forma en que el sistema puede moverse, por lo que es un lugar para que el sistema almacene energía. Permítanme demostrarlo para un gas ideal: un gas ideal no tiene interacciones, por lo que no hay energía potencial. Sin embargo, hay energía cinética en tres dimensiones, $x, y,$ y $z$ . Así que hay tres grados de libertad aquí, y desde el teorema de equipartición obtenemos: $$ \langle E \rangle = \langle \frac{1}{2} m v^2 \rangle = \frac {3}{2} k_B T $$ Los paréntesis angulares significan "promedio". Haz un poco de álgebra y obtendrás $$ \langle v^2 \rangle = \frac{3 k_B T}{m} $$ A veces verás que la gente saca la raíz cuadrada en este punto, pero estrictamente hablando no siempre se puede hacer eso. Hay una pequeña diferencia entre el "cuadrado de la media" y la "media de los cuadrados".

Ahora bien, ¿qué pasaría si no fuera un gas ideal? ¿Y si fuera un gas hecho de moléculas diatómicas, como $O_2$ ? Podemos imaginar que tenemos dos átomos sobre un muelle en un modelo clásico. En ese caso, tenemos muchos más grados de libertad. Cada molécula puede moverse en tres direcciones (3 d.o.f.), puede vibrar hacia adelante y hacia atrás (2 d.o.f., uno para la energía potencial y otro para la cinética a lo largo de ese muelle imaginario) y puede girar (2 d.o.f., ya que puede girar en varios planos). Equivalentemente, cada átomo tiene tres f.o.d., y luego tenemos uno más para el "muelle" entre ellos. Así que para este caso, el tres de nuestra fórmula anterior es ahora un siete, y obtenemos: $$ \langle v^2 \rangle = \frac{7 k T}{m} $$ Una de las fuerzas motrices más importantes de la termodinámica fue la medición de las capacidades térmicas, $\Delta E/ \Delta T$ y el descubrimiento de lugares en los que estas fórmulas se cumplen o no. Por ejemplo, el límite del gas diatómico resulta no funcionar a bajas temperaturas, porque los efectos cuánticos suprimen la influencia de las rotaciones.

Tu comentario sobre las oscilaciones me confunde un poco porque en un gas estándar las partículas no están "oscilando", lo que implicaría que vuelven a posiciones/velocidades anteriores. Sin embargo, también se puede aplicar este pensamiento a los osciladores armónicos (masas sobre muelles) y obtener lo que se conoce como el "modelo de Einstein de un sólido". Esto también impulsó muchas investigaciones en lo que hoy es la física del estado sólido.