Decidibilidad en grupos

Question

Esta no es mi área de investigación, pero tengo curiosidad. Dejemos que $G=\left< X|R \right>$ sea un grupo finitamente presentado, donde $X$ y $R$ son finitos. Hay muchas preguntas que son indecidibles para todos esos $G$ por ejemplo, si $G$ es trivial o si una palabra concreta es trivial en $G$ . ¿Existe alguna pregunta no trivial (por trivial quiero decir que la respuesta es siempre sí o siempre no) que sea decidible? Por ejemplo, ¿existe una clase $S$ (no vacío y no igual a todos los grupos finitamente presentados) tal que siempre se puede decidir si $G$ ¿está en esta clase?

Answer 1

El problema es si $G$ es perfecto, es decir $G=[G,G]$ es decidible porque hay que abelianizar todas las relaciones (sustituir la operación por "+" en cada relación) y resolver un sistema de ecuaciones lineales sobre $\mathbb Z$ . Por ejemplo, si las relaciones definitorias son $xy^{-1}xxy^5x^{-8}=1, x^{-3}y^{-2}xyx^5 = 1 $ entonces la abelianización da $-5x+4y=0, 3x-y=0$ . Ahora hay que comprobar si estas dos relaciones "matan" $\mathbb{Z^2}$ . Esto significa que para algunos enteros $a,b,c,d$ deberíamos tener $x = a(-5x+4y)+b(3x-y), y = c(-5x+4y)+d(3x-y) $ . Esto da 4 ecuaciones enteras con cuatro incógnitas: $1=-5a+3b, 0=4a-b, 1=4c-d, 0=-5c+3d $ . Este sistema no tiene una solución entera (implica $7a=1 $ ), por lo que $G\ne [G,G]$ .

Answer 2

Muchas de las propiedades indecidibles de los grupos de presentación finita son verificables, es decir, si son verdaderas, se puede demostrar que lo son. Tales propiedades incluyen trivial, finito, abeliano, nilpotente, libre, automático, hiperbólico, isomorfo a algún otro grupo de presentación finita especificado.

Como pregunta complementaria, ¿hay alguna propiedad de los grupos de presentación finita que se sepa que no es verificable ni su negación es verificable? ¿Podría ser la solvencia una de estas propiedades?