Esto no es una prueba de la Conjetura de Collatz, pero de alguna manera me las arreglé para demostrar que no hay ningún ciclo que pueda existir que no sea el ciclo 1, 4, 2:
$n$ es un número entero positivo
$3n+1$ , $n$ es impar
$\frac n2$ , $n$ es incluso
En primer lugar, supongamos que existe un ciclo que no contiene 1. Este ciclo debe contener un número impar dentro de él, de lo contrario sería posible dividir continuamente cada número del ciclo por 2, lo que nos llevaría a 1. Por lo tanto, comencemos este ciclo con ese número impar y como se trata de un ciclo, no importa por dónde comencemos. Sea ese número impar $A$ , donde $A$ no es igual a 1. Dado que $A$ es impar, aplicamos la ecuación de impar para encontrar el siguiente término: $3A+1=B$ . $B$ debe ser un número par ya que, $3A$ producirá un número impar y añadiendo $1$ a un número impar debe dar un número par. Para encontrar el siguiente término aplicamos la fórmula par a $B$ : $\frac B2=C$ .
Ahora bien, como el dominio de $n$ se define como los enteros positivos, $n<3n+1$ debe ser cierto para todos los $n$ Por lo tanto $A<B$ . Por la misma lógica $3n+1>\frac{3n+1}{2}$ así $B>C$ . Ahora $n<\frac{3n+1}{2}$ sólo cuando $n>-1$ por lo que el dominio de $n$ son todos enteros positivos podemos decir que $A<C$ . Así podemos formar la desigualdad $A<C<B$ .
Como se trata de un ciclo, los valores dentro de él deben volver a $A$ en algún momento. Denotemos el valor justo antes de $A$ por la letra $Z$ . Desde $A$ es un número impar, $Z$ debe ser par porque la única ecuación que puede devolver un número impar es $\frac n2$ . Porque $\frac Z2=A$ , $Z<A$ debe ser cierto. Porque $Z<A<C$ es cierto, $Z<C$ también debe ser cierto.
Porque $\frac Z2=A$ podemos decir que $Z=2A$ . También sabemos que $3A+1=B$ así que $A= \frac{B-1}{3}$ . Sustituyendo por $A$ obtenemos $Z=2(\frac{B-1}{3})$ . De nuevo, también sabemos que $\frac B2=C$ así que $B=2C$ . Sustituyendo por $B$ obtenemos $Z=2(\frac{2C-1}{3})$ o $Z=\frac{4C-2}{3}$ .
Porque sabemos $Z<C$ podemos decir $\frac{4C-2}{3}<C$ que sólo es cierto cuando $C<2$ . El único entero positivo menor que 2 es 1, por lo que $C=1$ . Porque $\frac B2=C$ , $B=2$ . También porque $3A+1=B$ , $A=\frac 13$ . El dominio de $n$ son todos enteros positivos, por lo que es una contradicción. Por lo tanto, no existe ningún ciclo que no contenga el número 1 dados los parámetros establecidos por la conjetura.
