Resolver la salida del logaritmo en términos de $p$ y $q$

Question

Me gustaría comprobar los pasos si la parte a) está hecha correctamente. Para la parte b), ¿cómo continúo desde abajo? Parece que estoy atascado por $\log_{10}(5)$

Este es el problema:

Dado que $p = \log_{10} 2$ y $q = \log_{10} 7$ Exprese lo siguiente en términos de $p$ y $q$ .

a) $\log_{7} 4 = \frac{\log_{10} 4}{\log_{10} 7} = \frac{2 \log_{10} 2}{\log_{10} 7} = \frac{2p}{q}$
b) $\log_{10} \sqrt[3]{\frac{25}{49}} = \log_{10}5^\frac{2}{3} - \log_{10}7^\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\log_{10}5 - \frac{2q}{3}$

[ Fuente ]

Answer 1

Una pista: Escriba $5 = 10/2$ . ${}{}$

Answer 2

La parte a es correcta y $\log_{10} 5+\log_{10} 2=1$

Answer 3

La parte a) es perfecta (buen trabajo)

Para la parte b) el $\log_{10} 5$ está lanzando una llave inglesa y no puedes expresar $5$ en términos de $2$ y $7$ utilizando sólo la multiplicación y la división y los exponentes.

Pero tienes otros dos valores a tu disposición: $\log_{10} 10 = 1$ y $\log_{10} 1 = 0$ .

¿Puede expresar $5$ en términos de $2, 7, 10, 1$ en términos de multiplicación y división y exponentes. (Pista: $1$ es bastante inútil ya que es la identidad multiplicativa)

Una pista:

$5 = \frac {10}2$

Solución:

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac {10}2 = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - p$ así que $\log_{10} \sqrt[3]{\frac {25}{49}}=\frac 23\log_{10} 5-\frac {2q}3 = \frac 23(1-p)-\frac {2q}3$

Alternativamente:

$\log_{10} \sqrt[3]{\frac {25}{49}}=\frac 23\log \frac 57=\frac 23\log \frac {10}{2*7} = \frac 23(\log 10 - (\log 2 + \log 7)) = \frac 23(1-p-q)$