Demostrar que la factorización de $x^n-1$ contiene solo 2 factores si y solo si $n$ es un número primo

Question

Me gustaría demostrar la siguiente afirmación.

  

Si $n$ es un número primo, entonces la factorización de $x^n-1$ sobre   $\Bbb{Z}$ contiene solo $2$ factores, y esos factores son:   $$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1).$$

Ya he demostrado que la factorización anterior es válida para todos $n\in\Bbb{N}$, lo que queda por demostrar es que si $n$ es un número primo, entonces $(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$ es irreducible. Sé que se podría usar el criterio de Eisenstein, pero no tengo ni idea de cómo se podría desarrollar la prueba. ¡Ayuda!

PD: Si ayuda en algo, también he demostrado lo contrario. Es decir, si $n$ es un número compuesto, entonces la factorización de $x^n-1$ contiene más de 2 factores (lo que no creo que ayude en absoluto).

Answer 1

Tenemos que $$ x^{n}-1= \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x) $$ donde $\Phi _{d}(x)$ es el $d$-ésimo polinomio ciclotómico. Cuando $p$ es primo, tenemos $$ \Phi_p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1 $$ cuya irreducibilidad se sigue del criterio de Eisenstein aplicado a $\Phi_p(x+1)$.

Answer 2

El polinomio $x^n-1$ contiene tantos factores algebraicos como $n$ contiene divisores. Cada uno de estos factores algebraicos contiene un primer término $x^a$, donde $a$ es el totiente de Euler del divisor.

Estas ecuaciones pueden ser demostradas y evaluadas desde el decimal. Esto funciona al menos para todos los valores donde el totiente de Euler es menor que 163 (hasta donde fui)

Comienzas con los números 9, 99, 999, etc.

a   b            c         d        e
1 9               9     555564    x-1
2 99             11     555566    x+1
3 999           111     555666    x2+x+1
4 9999          101     555656    x2+1
5 99999       11111     566666    x4+x3+x2+x+1
6 999999         91     555646    x2-x+1

b es simplemente $10^a-1$. c es el residuo cuando b es dividido por c evaluado previamente, si el índice a divide al actual a.

d es c, adicionado por un número 555555. Normalmente el número de 5's es más grande que el valor más grande. Cuando 5 es restado de cada dígito, da el numerador para cada potencia de x. Esta es la ecuación en e.

Un lenguaje de programación como REXX es suficiente para este fin.

Para esto, uno necesita notar que la factorización gaussiana se mantiene para múltiplos particulares (número impar por algún x), tal como $x^4+x^3+x^2+x+1=x^2+3x+1\pm \sqrt{5x}(x+1)$.

Answer 3

Las raíces $n$-ésimas de la unidad son cualquier número $c$ tal que $c^n=1$ (estos incluyen números complejos). Una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad es cualquier número $c$ tal que $c^n=1$ y $n$ es el entero más pequeño $k$ tal que $c^k=1$. Leyendo desde aquí, hay exactamente $ϕn$ raíces $n$-ésimas primitivas de la unidad para todos los $n$. Esto se sigue del hecho de que si $d|n$, entonces $x^d-1 | x^n-1$ y cualquier raíz $d$-ésima de la unidad también es una raíz $n$-ésima de la unidad, entonces para ser una raíz $n$-ésima primitiva, $d$ debe ser relativamente primo a $n$, por lo tanto hay $ϕn$ raíces de la unidad. Si $n$ es primo, entonces $1$ es la única raíz $n$-ésima no primitiva, y el resto son raíces primitivas de la unidad. Dado que el número de raíces $n$-ésimas primitivas de la unidad es $ϕn$ y $n$ es primo, hay $n-1$ raíces $n$-ésimas primitivas de la unidad. Debe existir un polinomio irreducible, también conocido como el $n$-ésimo polinomio ciclotómico, que contiene todas las raíces $n$-ésimas primitivas de la unidad. A su vez, a partir de la información anterior, el $n$-ésimo polinomio ciclotómico tiene grado $ϕn$, pero dado que $n$ es primo, el $n$-ésimo polinomio ciclotómico es de grado $n-1$, y $(x^n-1)/(x-1)$ es de hecho el $n$-ésimo polinomio ciclotómico y $x^n-1$ solo tendrá dos factores polinomiales. Si $n$ es compuesto, entonces $ϕn$ < $n-1$ y el $n$-ésimo polinomio ciclotómico no es de grado $n-1$, por lo tanto $(x^n-1)/(x-1)$ no es irreducible y $x^n-1$ contiene al menos $3$ factores polinomiales.