Lagrangiano de un bloque conectado a una pista circular

Question

¿Podría alguien ayudarme? Tengo problemas para obtener el mismo resultado en la parte b) de este problema:

Utilizando la ecuación de Lagrange con respecto a $\theta$ He obtenido $$\ddot{x}cos\theta+a\ddot{\theta}+\dot{\theta}\dot{x}sin\theta+gsin\theta = 0\qquad(1)$$ Y como $$\frac{\partial L}{\partial x}=0,$$ entonces $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} $ es una constante de movimiento, dada en la solución. Estoy confundido en cuanto a cuál debe ser mi siguiente paso para obtener la solución dada. Como la Ec. 1 tiene el término extra $\dot{\theta}\dot{x}sin\theta$ Supongo que como $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} $ es constante, entonces se puede resolver para $\dot{x}$ y se introduce en la ecuación 1. Y luego al resolver la ecuación de Lagrange con respecto a $x$ También puedo utilizar la constante obtenida para completar esa ecuación. Parece que el término extra en la Ecuación 1 simplemente desaparece por completo y su constante se determinó como $$ma\dot{\theta}^2sin\theta$$ . ¿Podría alguien explicar cómo se ha obtenido esta solución para la parte b)?

*Este es un problema de "Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions: Problemas y soluciones sobre mecánica"

Answer 1

Estoy bastante seguro de que a tu ecuación (1) le falta un término. El primer término en $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta}$ debe cancelar el último término de $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}(\theta)'}.$

Siento mucho no usar símbolos matemáticos, eso es porque no sé cómo; y evidentemente las derivadas entre {} son para ser parciales.