¿Cómo puedo encontrar los términos de una expansión utilizando el razonamiento combinatorio?

Question

De mi libro de texto:

La expansión de $(x + y)^3$ se puede encontrar utilizando el razonamiento combinatorio en lugar de multiplicar los tres términos. Cuando $(x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y)$ se amplía, todos los productos de un término de la primera suma, un término de la segunda suma y un término de la tercera suma se suman . Términos del formulario $x^3$ , $x^2y$ , $xy^2$ y $y^3$ surgen.

¿Qué significa la parte en negrita?

He descubierto que si encuentras las posibles combinaciones de $x$ y $y$ , puedes conseguir $xxx = x^3$ , $xxy = x^2y$ , $xyy = xy^2$ , $yyy = y^3$ . ¿Es esto lo que significa?

Answer 1

Ampliar $(x+y)(x+y)(x+y)$ equivale a sumar todas las formas en las que puedes elegir tres factores para multiplicarlos juntos. Por ejemplo, puedes elegir un $x$ de la primera $(x+y)$ , a $y$ de la segunda $(x+y)$ y otro $x$ de la tercera $(x+y)$ para conseguir $xyx=x^2 y$ .

Tienes razón, los únicos productos posibles que podemos conseguir son $x^3$ , $x^2 y$ , $xy^2$ y $y^3$ . Sin embargo, tenemos que contar cuántas formas hay de obtener cada factor. Por ejemplo, sólo hay una forma de obtener $x^3$ (elegir $x$ de cada $(x+y)$ ), pero hay tres formas de conseguir $x^2 y$ : $xxy$ , $xyx$ y $yxx$ . Una forma de contar esto es darse cuenta de que hay $3$ maneras de elegir qué $(x+y)$ contribuye a $y$ [y el resto será $x$ s]. Un razonamiento similar para $xy^2$ y $y^3$ muestra que la expansión es $x^3 + 3x^2 y + 3 xy^2 + y^3$ .

En general, si tiene $(x+y)^n$ el número de maneras de obtener un producto de la forma $x^k y^{n-k}$ es el número de formas de elegir $k$ de la $(x+y)$ factores entre los que seleccionar un $x$ . Hay $\binom{n}{k}$ formas de hacer esta elección. Esto demuestra el teorema del binomio $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k n^{n-k}$ .