¿Cuál es la distribución de la media de dos variables de Poisson? ¿Y cómo utilizarla en la probabilidad condicional?

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias de Poisson independientes con parámetros $1$ y $2$ respectivamente. Entonces, ¿cuál es la siguiente probabilidad?

$$\mathbb P(X=1 \mid (X+Y)/2=2)$$

Answer 1

No necesitas la distribución de la media: Utilice $X + Y \sim Pois(3).$

$$P(X = 1|(X+Y)/2 = 2) = \frac{P(X = 1,X+Y=4)}{P(X+Y=4)} = \frac{P(X = 1,Y = 3)}{P(X+Y=4)} = ??,$$

donde se puede terminar el cálculo, utilizando la independencia y las fórmulas para $X \sim Pois(1)$ y $Y \sim Pois(2).$

Answer 2

Basta con aplicar la definición de probabilidad condicional y la Ley de Probabilidad Total, utilizando el hecho de la independencia.

$\mathsf P(X=1\mid X+Y=4) = \dfrac{\mathsf P(X=1, Y=3)}{\mathsf P(X+Y=4)}$

Argumentar que la suma de dos variables aleatorias de Poisson independientes es una variable aleatoria de Poisson cuya tasa es la suma de sus tasas, y por tanto que $(X+Y)\sim\mathcal{Pois}(3)$ .

Answer 3

Creo que puedes resolver tu pregunta sabiendo que si $X$ y $Y$ son dos v.r. con distribución de Poisson con $\lambda_{x}$ y $\lambda_{y}$ respectivamente, entonces la distribución de $X$ con la condición de $X+Y=k$ es binomial con $n=k$ y $p=\frac{\lambda_{x}}{\lambda_{x}+\lambda_{y}}$ . Véase el debate aquí .