Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región $D$

Question

Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región $D$ y tiene la función de densidad dada $\rho$ . $$D = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 1\}; \rho(x, y) = 7xy^2$$

Conseguí que mi masa fuera $7/3$ pero no sé cómo hacer para encontrar el centro de masa

Answer 1

Por simetría, el $y$ -La componente del centro de masa es $0$ . Para el $x$ -componente, encontramos el momento de la lámina sobre el $y$ -eje, y dividir por la masa.

El momento sobre el $y$ -eje es igual a $$\iint_D (x)(7xy^2)\,dy\,dx,$$ donde $D$ es el rectángulo $0\le x\le 1$ , $-1\le y\le -1$ . Esta integral puede ser evaluada utilizando la misma técnica que la que usaste para calcular la masa.