Estoy leyendo un poco de teoría de matrices aleatorias y me encontré con una desigualdad que no entiendo. Primero las hipótesis.
Sea Z $^N$ sean matrices hermitianas de tamaño $N\times N$ , $ \lambda\in\mathbb{R}$ y $e\in \mathbb{C}$ . Denotamos por $\lambda_{1}^{N}\leq \lambda_{2}^{N}...\leq \lambda_{N}^{N}$ ( $\eta_{1}^{N}\leq \eta_{2}^{N}...\leq \eta_{N}^{N}$ ) los valores propios de $Z^{N}$ (resp. $Z^{N}+\lambda ee^*$ ). Por el teorema de Lidskii, los valores propios $\lambda_{i}$ y $\eta_{i}$ están entrelazados;
$$\lambda_{1}^{N}\leq \eta_{2}^{N}\leq \lambda_{3}^{N}...\leq \lambda_{2[\frac{N-1}{2}+1]}^{N}\leq\eta_{2[\frac{N}{2}]}^{N},$$
$$\eta_{1}^{N}\leq \lambda_{2}^{N}\leq \eta_{3}^{N}...\leq \eta_{2[\frac{N-1}{2}+1]}^{N}\leq\lambda_{2[\frac{N}{2}]}^{N}.$$
Ahora la reclamación con la que tengo problemas.
Si $f$ es una función acotada creciente, $$\displaystyle\sum_{i=1}^{N}f(\lambda_{i}^{N})\leq \displaystyle\sum_{i=2}^{N}f(\eta_{i}^{N})+\frac{1}{N}||f||_{\infty}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{N}f(\eta_{i}^{N})+\frac{2}{N}||f||_{\infty}.$$
¿Cómo conseguimos el $\frac{1}{N}$ en $\frac{1}{N}||f||_{\infty}$ ?
