¿Son iguales las topologías inducidas por las siguientes familias de seminormas?

Question

Dejemos que $G$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb R ^n$ y $D(G)$ denota el conjunto de funciones suaves con soporte compacto en $G$ .

Consideremos las siguientes familias de seminormas,

1. Para $f\in D(G)$

$||f||_N = \sup \{ | D^{\alpha}f(x)|: x\in G,|\alpha| \leq N \}$ para $N\in \mathbb N$ .

2. Dejemos que $K_n$ sea una secuencia anidada de conjuntos compactos que agotan $G$ entonces para $f \in D(G)$ definir

$\nu_N (f) = \sup \{ | D^{\alpha}f(x)|: x\in K_N,|\alpha| \leq N \}$ para $N\in\mathbb N$ .

donde $\alpha$ es un índice múltiple.

¿Son las topologías inducidas en $D(G)$ por encima de dos familias iguales?

Mi opinión es que NO, pero no puedo probarlo.

EDITAR - Me interesa esta pregunta porque en $C^\infty(G)$ damos topología inducida por la familia 2. En el capítulo 6 del Análisis Funcional de Rudin, dice que la familia 1 no da buena topología en $D(G)$ (no está completo). Pero Rudin no habló de la familia 2 a pesar de que se trata de una topología subespacial en $D(G)$ como un subconjunto de $C^\infty(G)$ .

Answer 1

Con la topología de 2, para las funciones en $C^\infty(\Omega)$ , $\lim_n f_n = f$ puede pensarse como de $D^\alpha f_n \rightarrow D^\alpha f$ uniformemente en cualquier subconjunto compacto, y para cada $|\alpha| < \infty$ .

Se puede construir $f_n\in \mathcal{D}(\Omega)$ y sin embargo el límite $f\in C^\infty(\Omega)$ no tiene soporte compacto.

2 da una topología más débil que 1 en $\mathcal{D}(\Omega)$ ya que 1 es "converger uniformemente" y 2 es "converger localmente de manera uniforme". Por ejemplo, dejemos que $\phi$ tienen apoyo en $[0,1]$ , defina $$\psi_m(x) = \phi(x) + \phi(x-1) + \cdots + \phi(x-m)$$ esta secuencia es Cauchy en 2, pero no Cauchy en 1. Esto también muestra que $\mathcal{D}(\Omega)$ con la topología inducida por 2 no es completa. (Similar al ejemplo de Rudin en la página 151.)