Algunos antecedentes: (salta al final para ver la pregunta real) Recientemente he tratado de definir alguna noción de media de puntos en la superficie de una esfera.
Mi idea original era ignorar el hecho de que los puntos están en una esfera y simplemente encontrar el vector $x$ tal que la distancia a todos los demás puntos al cuadrado $D=\sum_i\|v_i-x\|^2$ se minimiza. Suponiendo que $x$ también debe estar en la esfera que expandí y simplifiqué para obtener $$x=\frac{\sum_iv_i}{\|\sum_iv_i\|}$$ Sin embargo, haciendo algunas simulaciones, descubrí que esta definición era insatisfactoria.
En su lugar, encontré que la siguiente definición alternativa funcionaba mejor: Denotemos que la media es el punto $x$ . Entonces $x$ es el punto tal que la suma de las distancias a lo largo de la superficie a los otros puntos al cuadrado se minimiza, es decir $$D=\min_{\|x\|=1}\sum_idist_{S}(v_i,x)^2$$ donde $dist_S(v_i,x)$ es la longitud de la geodésica entre $v_i$ y $x$ en la superficie $S$ .
Sin embargo, como estamos trabajando en la esfera, la función de distancia es una función bastante bonita y sencilla: $$dist_S(v_i,x)=\arccos(v_i\cdot x)$$ Se deduce del hecho de que una geodésica en la esfera es un arco y que $$v_i\cdot x=\|v_i\| \|x\|\cos\theta=\cos\theta$$ Mi pregunta: ¿existe una forma cerrada para el vector $x$ tal que $\displaystyle\sum_i\arccos(v_i^T x)^2$ se minimiza? Si no es así, ¿hay alguna otra forma de determinar qué $x$ ¿es?
