Algebraicamente no hay mayor diferencia entre la homología y la cohomología Bocksteins. Basta con sustituir $C^n$ con $C_n$ (probablemente querrás trabajar los detalles explícitamente con cadenas si estás más familiarizado con la (co)homología singular), sin olvidar que el diferencial homológico baja el grado (los Bocksteins homológicos bajan el grado). Podrías consultar, por ejemplo, "An Introduction to Homological Algebra" de Rotman para un tratamiento decente de los detalles algebraicos (se tratan explícitamente en el capítulo 6, si no recuerdo mal).
Incluso topológicamente las diferencias son sutiles. Recordemos que la homología (singular) está representada por los espacios de Eilenberg-Mac Lane $K(A,n)$ ( $A$ un grupo abeliano). Si
$0\rightarrow A_1\rightarrow A_2\rightarrow A_3\rightarrow 0$
es una secuencia exacta corta de grupos abelianos, entonces existe una secuencia de fibración
$K(A_1,n+1)\rightarrow K(A_2,n+1)\rightarrow K(A_3,n+1)$
El mapa de conexión $\beta:K(A_3,n)\rightarrow K(A_1,n+1)$ de esta fibración (o al menos su clase de homotopía) define topológicamente el Bockstein cohomológico.
En la homología generalmente se necesita trabajar de forma estable, con espectros. En ese caso, la anterior secuencia exacta corta de grupos abelianos da lugar a una secuencia coférica de espectros
$KA_1\rightarrow KA_2\rightarrow KA_3$
y esta vez es el mapa de conexión de cofibración $\beta:KA_3\rightarrow \Sigma KA_1$ que se identifica con el Bockstein homológico.
