Demostrando que si $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a$ entonces $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n^2 = a^2$

Question

Si tenemos una secuencia real $\left|a_n\right|$ tal que $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a$ ¿cómo demostramos (mediante un $\epsilon - N$ argumento) que $\left|a_n\right|$ tal que $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}^{2} = a^2$ ?

Sé que puedes usar el álgebra para hacer lo siguiente:

$$\left|a_n^2 - a^2\right| =\left|(a_n - a)(a_n + a)\right|$$

Donde siento que puedes usar la implicación de que $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a$ para demostrar que $(a_n-a) < a$ o algo así.

¿Cuál es la forma adecuada de hacerlo?

Answer 1

Sugerencia

Una secuencia convergente está acotada. Así que también se puede acotar $\vert a+a_n\vert$ .

Answer 2

Fíjate, sabemos que $$\lim_{n\to \infty}a_n=a$$ Dado que el límite anterior existe como $n\to \infty$ por lo que podemos separar los límites en forma de producto de la siguiente manera

$$\lim_{n\to \infty}a_n^2=\lim_{n\to \infty}(a_n\cdot a_n)$$$$ =lim_n hasta \infty}(a_n)\cdot \lim_n hasta \infty}(a_n) $$ $$ =a\cdot a=a^2$$

Answer 3

Si para cada $\varepsilon > 0$ hay algo de $N \geq 1$ tal que $|a_{n}-a| < \varepsilon$ entonces, tomando cualquier $\varepsilon > 0$ Hay un poco de $N \geq 1$ tal que $$ |a_{n}^{2}-a^{2}| = |a_{n}-a||a_{n}+a| < 2|a|\varepsilon+\varepsilon^{2} $$ para todos $n \geq N$ .