Sea $F$ sea un grupo libre, y $w$ un elemento de $F$ . En cualquier grupo $G$ , a $w$ -la palabra es la imagen de $w$ o $w^{-1}$ bajo un homomorfismo de $F$ à $G$ . El subgrupo de $G$ generado por $w$ -palabras se denomina $G(w)$ .
Para cualquier $g \in G(w)$ El $w$ -longitud de $g$ denotado $l(g|w)$ es el número mínimo de $w$ -palabras en $G$ cuyo producto es $g$ y la estable $w$ -longitud de $g$ denotado $sl(g|w)$ es el límite $sl(g|w) = lim_{n \to \infty} l(g^n|w)/n$ .
Si $w$ no está en el subgrupo conmutador de $F$ el establo $w$ -longitud de cada elemento en cualquier grupo es trivial. En caso contrario, se tiene una desigualdad universal $$1/2 \le sl_F(w|w) \le 1$$ (donde el subíndice $F$ indica que estable $w$ -la longitud se calcula en el grupo libre $F$ que contiene $w$ sí mismo).
El límite inferior de $1/2$ se realiza, por ejemplo, mediante la palabra $w=xyx^{-1}y^{-1}$ (es decir, un conmutador estándar) en $F_2$ pero no sé cómo calcular (¡ni siquiera aproximar!) $sl(w|w)$ en (esencialmente) cualquier otro caso.
¿Qué valores se consiguen con $sl(w|w)$ ? ¿Son todos racionales? ¿Son densos? ¿Es $1$ ¿alcanzado alguna vez? ¿Es $1/2$ jamás conseguido para una palabra que no sea $xyx^{-1}y^{-1}$ ?
(Añadido:) Después de leer la respuesta de FC, probablemente valga la pena señalar que el límite inferior $1/2 \le sl_F(w|w)$ procede de la desigualdad $scl_G(g) \le sl_G(g|w)(scl_F(w)+1/2)$ para cualquier $g$ en cualquier $G$ por lo que se obtiene un mejor límite inferior en $sl_F(w|w)$ si uno sabe $scl_F(w)>1/2$ (la estimación $scl_F(w)\ge 1/2$ siempre es cierto). Los límites superiores pueden establecerse mostrando identidades (como la identidad de FC que aparece a continuación). ¿Una búsqueda informática a ciegas da algún ejemplo interesante?
