Quiero saber si hay una manera de probar que $S_g$ (la superficie orientable de género $g$ ) cubre $S_1$ (el toroide) si y sólo si $g=1$ sin invocar la característica de Euler. Sé que cualquier cobertura $S_g \rightarrow S_1$ induce una inyección en los grupos fundamentales, pero ¿también produce necesariamente una inyección en las abelianizaciones, por ejemplo? En ese caso, la afirmación se seguiría.
También he encontrado el post más antiguo Superficie del género $g$ no se retrae al círculo (ejercicio Hatcher) en la que la respuesta superior afirma que un determinado mapa hace inducir una inyección en grupos fundamentales abelianizados, pero no entiendo por qué.
