volumen simpléctico del disco J-holomorfo incrustado

Question

Sea M una variedad simpléctica cerrada de 2n dimensiones. Entonces, ¿existe una constante c tal que, para cualquier disco J-holomorfo real bidimensional embebido u, el volumen simpléctico de u está acotado por c ?

Si no es así, ¿hay algún resultado sobre una condición que haga que la afirmación anterior sea cierta? Le agradezco mucho su comentario.

Answer 1

A no ser que esté entendiendo mal lo que preguntas, la respuesta es seguramente no... considera por ejemplo $\mathbb{C}P^n$ con sus estructuras simplécticas y complejas estándar. Esto admite la incrustación $J$ -curvas holomorfas de área arbitrariamente grande (tome una curva de alto grado en un plano $\mathbb{C}P^2\subset \mathbb{C}P^n$ ), y restringir a un disco dentro de cualquiera de estas curvas le daría un $J$ -Disco holomórfico $u$ de un área arbitrariamente grande (que supongo que es a lo que te refieres con el volumen simpléctico de $u$ ).

En variedades simplécticas más generales $(M,\omega)$ el principio h da esferas simplécticas inmersas en cada clase de homología $A$ con $\int_{A}\omega>0$ Estas esferas se pueden tomar incrustadas si $\dim M\geq 6$ y se encuentra alejado de un número finito de puntos dobles transversales si $\dim M=4$ . En cualquiera de los casos se podría construir una estructura casi compleja $J$ en $M$ con respecto a la cual se incrusta un subdisco de superficie arbitrariamente grande de la superficie y $J$ -holomorfo. (Hay que admitir que esto es un poco más débil que el primer ejemplo, ya que aquí estamos eligiendo $J$ después de elegir la superficie así que todo lo que muestra es que para cualquier $C$ hay un par $(u,J)$ donde $u$ es un $J$ -disco holomorfo de área mayor que $C$ con $J$ posiblemente dependiendo de $C$ .)

Answer 2

Gracias por su amable respuesta. En realidad, estudio sobre una simpléctica cerrada no hamiltoniana $S^1$ -manifold $(M,\omega,J)$ con un conjunto de puntos fijos no vacío.

Tengo otra pregunta. Sea X un campo vectorial fundamental de la acción y sea $\gamma(t) : [0, \infty) \to M$ sea una curva integral para $JX$ con $\gamma(0) = z$ , donde $z$ es un punto fijo para la acción dada. Me pregunto si $\gamma(t)$ tiene el punto final o no. (Me refiero a si $JX$ -flujos converge a otro punto fijo o no)

* Si $\gamma(t)$ no tiene punto final, entonces $S^1 \cdot \gamma([0,t])$ es un $J$ -disco holomórfico para cualquier $t \in (0,\infty)$ . Por lo tanto, creo que debería tener un volumen simpléctico infinito. Pero como has dicho, esta cuestión no parece estar relacionada con el volumen simpléctico del disco.

* En el caso de la acción hamiltoniana, la curva integral $\gamma(t)$ por supuesto converge a algún punto fijo por compacidad de $M$