Por qué las propiedades de una derivación conducen a un espacio tangente de una variedad

Question

De estas notas, https://www.dpmms.cam.ac.uk/~md384/neessnmeiwseis.pdf , definición 2.6:

Una derivación $D$ en $p$ es un mapeo $D:X(p) \rightarrow \mathbf{R}$ Satisfaciendo a $D(\lambda f+\mu g)= \lambda D f + \mu D g$ , para $\lambda, \mu$ escalares, y, además, $D(fg)=D(f)g(p)+f(p)(Dg)$

Entonces la proposición 2.4 afirma que el conjunto de derivaciones en p define un espacio vectorial de dimensión n, denotado $T_pM$

¿Cómo sabemos que las propiedades de la derivación con conducen a un espacio tangente, ver

Answer 1

Otra definición del espacio tangente que se utiliza a veces es que es el espacio de los vectores tangentes a las curvas que pasan por $p$ . Es decir, tomar la colección de todas las curvas suaves parametrizadas $\gamma \colon (-\varepsilon,\varepsilon) \to X$ con $\gamma(0) = p$ . Si tomamos el vector tangente $\gamma'(0)$ podemos imaginarlo como un vector basado en $p$ que es tangente a $X$ como en la foto que has incluido.

La conexión entre esta imagen y la definición de "derivación" es la siguiente. Cada uno de estos vectores tangentes define una derivación abstracta en el espacio de las funciones. Esta derivación es simplemente la derivada direccional en la dirección que $\gamma'(0)$ puntos. Más técnicamente, defina $D_\gamma$ para ser

$$ D_\gamma(f) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\gamma(t)) - f(0)}{t} $$

Entonces $D_\gamma$ satisface la regla de Leibniz: $D_\gamma(fg) = D_\gamma(f) \cdot g + f \cdot D_\gamma(g)$ y por lo tanto es una derivación.